Qu'est-ce qu'un convertisseur binaire en décimal ?
Un convertisseur binaire en décimal transforme un nombre écrit en base 2 (composé uniquement des chiffres 0 et 1) en son équivalent en base 10, le système numérique que nous utilisons au quotidien. Les ordinateurs stockent et traitent toutes les données en binaire : la conversion en décimal devient donc indispensable dès que vous avez besoin d'une valeur lisible à partir de bits bruts, d'un vidage mémoire, d'un masque réseau ou d'une sortie de programme.
Comment l'utiliser
Saisissez votre nombre binaire dans le champ — par exemple 101101 — et l'outil affiche la valeur décimale ainsi que le nombre de bits. Tout caractère autre que 0 ou 1 est ignoré : vous pouvez donc coller en toute tranquillité des groupes espacés comme 1011 0101.
La formule expliquée
Chaque chiffre binaire (bit) possède un poids positionnel égal à 2 élevé à la puissance correspondant à sa position, en comptant à partir de la droite à partir de 0. La valeur décimale est la somme de chaque bit multiplié par son poids :
$$\text{Decimal} = \sum_{i=0}^{n-1} d_i \cdot 2^{\,n-1-i}, \quad d_i \in \text{Binary Number}$$
Le bit le plus à droite a un poids de \(2^0 = 1\), le suivant \(2^1 = 2\), puis \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), et ainsi de suite.
Exemple concret
Convertissons 101101. En lisant de droite à gauche avec les poids 1, 2, 4, 8, 16, 32 :
$$(1\cdot32) + (0\cdot16) + (1\cdot8) + (1\cdot4) + (0\cdot2) + (1\cdot1) = 32 + 8 + 4 + 1 = \mathbf{45}$$ Le nombre binaire 101101 correspond donc au décimal 45.
Poids positionnels des puissances de deux
Dans un nombre binaire, chaque bit a un poids positionnel égal à une puissance de deux. Le bit le plus à droite (position 0) porte le poids \(2^0 = 1\), et chaque position à gauche double le poids. Pour convertir à la main, multipliez chaque bit par son poids et additionnez les résultats :
$$\text{Décimal} = \sum_{i=0}^{n-1} d_i \cdot 2^{\,i}$$
où \(i\) compte les positions à partir de la droite (bit le moins significatif), en commençant par 0.
| Position du bit \(i\) | Puissance \(2^i\) | Poids décimal |
|---|---|---|
| 0 | \(2^0\) | 1 |
| 1 | \(2^1\) | 2 |
| 2 | \(2^2\) | 4 |
| 3 | \(2^3\) | 8 |
| 4 | \(2^4\) | 16 |
| 5 | \(2^5\) | 32 |
| 6 | \(2^6\) | 64 |
| 7 | \(2^7\) | 128 |
| 8 | \(2^8\) | 256 |
| 9 | \(2^9\) | 512 |
| 10 | \(2^{10}\) | 1 024 |
| 11 | \(2^{11}\) | 2 048 |
| 12 | \(2^{12}\) | 4 096 |
| 13 | \(2^{13}\) | 8 192 |
| 14 | \(2^{14}\) | 16 384 |
| 15 | \(2^{15}\) | 32 768 |
| 16 | \(2^{16}\) | 65 536 |
Pour un octet de 8 bits, la valeur maximale est \(2^8 - 1 = 255\) (les huit bits sont tous à 1), et pour 16 bits, c'est \(2^{16} - 1 = 65 535\).
Autres exemples détaillés
Chaque exemple aligne chaque bit avec son poids positionnel du tableau ci-dessus, ne conserve que les poids où le bit vaut 1, et les ajoute pour obtenir la valeur décimale.
Exemple 1 : 11111111 (8 bits tous à 1)
Chaque bit vaut 1, donc nous ajoutons les huit poids de la position 7 jusqu'à la position 0 :
$$128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1$$
Le total est 255, ce qui est la plus grande valeur qu'un octet de 8 bits peut contenir.
Exemple 2 : 10000000
Seul le bit le plus à gauche (position 7) vaut 1 ; toutes les autres positions contribuent 0 :
$$1\cdot128 + 0\cdot64 + 0\cdot32 + 0\cdot16 + 0\cdot8 + 0\cdot4 + 0\cdot2 + 0\cdot1$$
Cela se simplifie au seul poids \(2^7\), donnant 128.
Exemple 3 : 110010101 (9 bits)
En écrivant les bits avec leurs poids de position, les bits à 1 se trouvent aux positions 8, 7, 4, 2 et 0 :
| Bit | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Position | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| Poids | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
En additionnant uniquement les poids où le bit vaut 1 :
$$256 + 128 + 16 + 4 + 1$$
Le résultat décimal est 405. Vous pouvez confirmer la direction inverse avec un convertisseur décimal en binaire en entrant 405 et en vérifiant qu'il retourne 110010101.
Questions fréquentes
Quel est le plus grand nombre binaire sur 8 bits ? Il s'agit de 11111111, qui vaut 255 en décimal (\(2^8 - 1\)).
Puis-je saisir des zéros en tête ? Oui. Les zéros placés devant ne modifient pas la valeur : 0010 équivaut à 10, soit le décimal 2 dans les deux cas.
L'outil gère-t-il les nombres binaires fractionnaires ? Non, cet outil convertit uniquement des entiers binaires. Les parties fractionnaires placées après une virgule ne sont pas prises en charge.
