त्रिभुज का क्षेत्रफल कैलकुलेटर

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भुजा a

भुजा b

भुजा c

परिणाम

त्रिभुज का क्षेत्रफल

15.5885

वर्ग इकाई

अर्ध-परिमाप (s)	9
परिमाप	18

त्रिभुज का क्षेत्रफल कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल तब निकाल देता है जब आपको उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई पता हो। यह हीरोन के सूत्र पर आधारित है, जो हर तरह के त्रिभुज पर काम करता है—विषमबाहु (scalene), समद्विबाहु (isosceles) या समबाहु (equilateral)—और इसके लिए ऊँचाई या किसी कोण की जानकारी की ज़रूरत नहीं पड़ती।

इसका उपयोग कैसे करें

तीनों भुजाओं की लंबाई (\(a\), \(b\) और \(c\)) एक ही इकाई में दर्ज करें (सेमी, मीटर, इंच आदि)। कैलकुलेटर आपको क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में बताएगा, साथ ही अर्ध-परिमाप और परिमाप भी। यह त्रिभुज असमानता (triangle inequality) की भी जाँच करता है: हर भुजा धनात्मक होनी चाहिए और बाकी दो भुजाओं के योग से कम होनी चाहिए, वरना कोई वैध त्रिभुज संभव नहीं है।

सूत्र की व्याख्या

सबसे पहले अर्ध-परिमाप निकालें $$s = \frac{a + b + c}{2}$$। इसके बाद क्षेत्रफल होता है $$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$। वर्गमूल के अंदर का मान तभी धनात्मक होता है जब तीनों भुजाएँ वास्तव में एक त्रिभुज बना सकें।

हेरॉन का सूत्र तीनों भुजाओं \(a\), \(b\) और \(c\) की लंबाई का उपयोग करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज के लिए: $$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$ क्षेत्रफल $$= \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$ वर्ग इकाई। यह सरल सूत्र आधार × ऊँचाई ÷ 2 = \(3 \times 4 \div 2 = 6\) से भी मेल खाता है।

अर्ध-परिमाप \(s\) तीनों भुजाओं के योग का आधा होता है।

अधिक कार्य किए गए उदाहरण

प्रत्येक उदाहरण हेरॉन के सूत्र का उपयोग करता है, \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), जहाँ अर्ध-परिधि \(s = \tfrac{a+b+c}{2}\) है। प्रतिस्थापन को चरण दर चरण समझें।

उदाहरण 1 — समबाहु त्रिभुज (6, 6, 6)

1. अर्ध-परिधि: \(s = \dfrac{6 + 6 + 6}{2} = 9\)।
2. प्रतिस्थापित करें: \(A = \sqrt{9\,(9-6)(9-6)(9-6)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\)।
3. मूल्यांकन करें: \(A = \sqrt{243} \approx \) 15.588 वर्ग इकाई।

एक नियमित समबाहु त्रिभुज के लिए आप इसे समर्पित समबाहु त्रिभुज सूत्र \(A = \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\) से पुष्टि कर सकते हैं, जो समान 15.588 देता है।

उदाहरण 2 — समद्विबाहु त्रिभुज (5, 5, 8)

1. अर्ध-परिधि: \(s = \dfrac{5 + 5 + 8}{2} = 9\)।
2. प्रतिस्थापित करें: \(A = \sqrt{9\,(9-5)(9-5)(9-8)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1}\)।
3. मूल्यांकन करें: \(A = \sqrt{144} = \) 12 वर्ग इकाई।

यह एक स्वच्छ पूर्ण संख्या निकलती है — 8 के आधार को विभाजित करने से दो 3-4-5 समकोण त्रिभुज मिलते हैं, इसलिए ऊँचाई 3 है और \(A = \tfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 3 = 12\)।

उदाहरण 3 — विषमबाहु त्रिभुज (7, 9, 12)

1. अर्ध-परिधि: \(s = \dfrac{7 + 9 + 12}{2} = 14\)।
2. प्रतिस्थापित करें: \(A = \sqrt{14\,(14-7)(14-9)(14-12)} = \sqrt{14 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2}\)।
3. मूल्यांकन करें: \(A = \sqrt{980} \approx \) 31.305 वर्ग इकाई।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या इकाइयों से फर्क पड़ता है? तीनों भुजाओं के लिए एक ही लंबाई की इकाई का इस्तेमाल करें; क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आएगा।

अगर मेरी भुजाएँ त्रिभुज न बनाएँ तो? अगर कोई भुजा बाकी दो के योग के बराबर या उससे बड़ी है, तो कैलकुलेटर इनपुट को अवैध बता देगा और क्षेत्रफल 0 हो जाएगा।

क्या मैं इसे समकोण त्रिभुज के लिए इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ—हीरोन का सूत्र समकोण त्रिभुज सहित हर तरह के त्रिभुज पर काम करता है।