삼각형 넓이 계산기란?
이 계산기는 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구해 줍니다. 헤론의 공식을 사용하기 때문에 부등변삼각형, 이등변삼각형, 정삼각형 등 어떤 삼각형이든 높이나 각도를 몰라도 넓이를 계산할 수 있습니다.
사용 방법
세 변의 길이(a, b, c)를 같은 단위(cm, m, in 등)로 입력하세요. 계산기는 넓이를 제곱 단위로 알려 주며, 반둘레와 둘레도 함께 보여 줍니다. 또한 삼각형 부등식도 확인합니다. 각 변은 양수여야 하고 나머지 두 변의 합보다 짧아야 하며, 그렇지 않으면 삼각형이 성립하지 않습니다.
공식 설명
먼저 반둘레 \(s = \frac{a+b+c}{2}\)를 구합니다. 그다음 넓이는 다음과 같이 계산합니다.
$$\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$제곱근 안의 값이 양수가 되는 경우는 세 변이 실제로 삼각형을 이룰 수 있을 때뿐입니다.
예제로 풀어보기
변의 길이가 3-4-5인 직각삼각형을 예로 들어 보겠습니다. \(s = \frac{3+4+5}{2} = 6\)입니다. 넓이는 다음과 같습니다.
$$\text{Area} = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$제곱 단위가 됩니다. 이는 간단한 공식인 \(\text{밑변} \times \text{높이} \div 2 = 3 \times 4 \div 2 = 6\)과 정확히 일치합니다.
더 많은 풀이 예제
각 예제는 헤론의 공식 \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)를 사용하며, 반둘레는 \(s = \tfrac{a+b+c}{2}\)입니다. 단계별로 대입을 진행하세요.
예제 1 — 정삼각형 (6, 6, 6)
- 반둘레: \(s = \dfrac{6 + 6 + 6}{2} = 9\).
- 대입: \(A = \sqrt{9\,(9-6)(9-6)(9-6)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\).
- 계산: \(A = \sqrt{243} \approx \) 15.588 제곱단위.
정삼각형의 경우 전용 정삼각형 공식 \(A = \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\)로 확인할 수 있으며, 동일한 결과인 15.588을 얻습니다.
예제 2 — 이등변삼각형 (5, 5, 8)
- 반둘레: \(s = \dfrac{5 + 5 + 8}{2} = 9\).
- 대입: \(A = \sqrt{9\,(9-5)(9-5)(9-8)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1}\).
- 계산: \(A = \sqrt{144} = \) 12 제곱단위.
이 경우 깔끔한 정수가 나옵니다. 밑변 8을 반으로 나누면 두 개의 3-4-5 직각삼각형이 되므로, 높이는 3이고 \(A = \tfrac{1}{2}\cdot 8 \cdot 3 = 12\)입니다.
예제 3 — 부등변삼각형 (7, 9, 12)
- 반둘레: \(s = \dfrac{7 + 9 + 12}{2} = 14\).
- 대입: \(A = \sqrt{14\,(14-7)(14-9)(14-12)} = \sqrt{14 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2}\).
- 계산: \(A = \sqrt{980} \approx \) 31.305 제곱단위.
자주 묻는 질문
단위가 중요한가요? 세 변 모두 같은 길이 단위를 사용하세요. 그러면 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
세 변이 삼각형을 이루지 못하면 어떻게 되나요? 어느 한 변이 나머지 두 변의 합과 같거나 그보다 길면, 계산기가 잘못된 입력으로 표시하고 넓이는 0이 됩니다.
직각삼각형에도 쓸 수 있나요? 네, 헤론의 공식은 직각삼각형을 포함한 모든 삼각형에 적용됩니다.
