헤론의 공식이란?
헤론의 공식은 삼각형의 높이나 각도를 몰라도 세 변의 길이만 알면 넓이를 구할 수 있는 공식입니다. 고대 그리스 알렉산드리아의 수학자 헤론(Heron)의 이름을 딴 이 공식은 고전 기하학에서 가장 우아한 결과 중 하나로 꼽힙니다. 특히 측량, 건축, 그리고 높이를 직접 재기 어려운 현장에서 아주 유용하게 쓰입니다.
계산기 사용 방법
세 변의 길이 a, b, c를 같은 단위(cm, m, inch 등)로 입력하세요. 계산기는 먼저 반둘레를 구한 다음, 삼각형의 넓이를 제곱 단위로, 둘레와 함께 보여 줍니다. 입력한 값으로 실제 삼각형을 만들 수 없는 경우에는 경고 메시지가 표시됩니다.
공식 자세히 보기
먼저 반둘레를 구합니다: \(s = (a + b + c) / 2\). 그다음 넓이는 \(A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\)로 계산합니다.
$$A = \sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}$$제곱근 안의 값은 세 변이 삼각형 부등식(각 변이 나머지 두 변의 합보다 작아야 한다)을 만족할 때에만 양수가 되며, 이때가 바로 올바른 삼각형이 존재하는 조건입니다.
예제로 풀어보기
변의 길이가 \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\)인 삼각형을 예로 들어 보겠습니다. 반둘레는 다음과 같습니다.
$$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$그러면 넓이는 다음과 같이 구합니다.
$$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$(제곱 단위)가 됩니다. (이는 우리에게 익숙한 3-4-5 직각삼각형으로, 넓이를 \(\tfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)으로 계산해도 같은 값이 나옵니다.)
자주 묻는 질문
각도가 필요한가요? 아니요. 헤론의 공식은 세 변의 길이만으로 계산합니다.
넓이의 단위는 무엇인가요? 변을 입력한 단위의 제곱입니다. 변을 미터(m) 단위로 입력했다면 넓이는 제곱미터(m²)로 나옵니다.
"올바른 삼각형이 아닙니다"라는 메시지가 왜 뜨나요? 어떤 변이 0이거나 음수이거나, 나머지 두 변의 합보다 길면 실제 삼각형이 존재하지 않으므로 넓이를 정의할 수 없습니다.
