이 계산기는 무엇을 하나요?
근의 공식 계산기는 표준형 ax² + bx + c = 0 형태로 쓰인 모든 이차방정식의 해를 구해 줍니다. 세 개의 계수만 입력하면 방정식의 근(해)을 바로 알려 줍니다. 특히 세 가지 경우, 즉 서로 다른 두 실근, 중근(하나의 실근), 두 개의 복소근(허근)을 모두 자동으로 처리해 줍니다. 어떤 경우에 해당하는지 미리 판단할 필요가 없습니다. 계산기가 판별식을 대신 확인해 주기 때문입니다.
입력해야 하는 값
- 계수 a — x²에 곱해지는 수입니다(0이면 안 됩니다. 0이면 이차방정식이 아닙니다).
- 계수 b — x에 곱해지는 수입니다.
- 계수 c — 상수항입니다.
세 값 모두 양수, 음수, 정수, 소수 어느 것이든 가능합니다. 정수로 떨어지는 답은 ".0" 같은 불필요한 소수점 없이 깔끔하게 표시됩니다.
공식 풀어보기
결과는 잘 알려진 근의 공식으로 구합니다.
$$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$
제곱근 안에 들어가는 식 \(\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}\)를 판별식이라고 부르며, 이 값이 해의 종류를 결정합니다.
- 판별식 > 0: 서로 다른 두 실근을 가집니다.
- 판별식 = 0: 하나의 실근(중근)을 가지며, 그 값은 \(-\text{b} / 2\text{a}\)입니다.
- 판별식 < 0: 두 개의 복소근을 가지며, 실수 부분(\(-\text{b} / 2\text{a}\))에 허수 부분(\(\sqrt{-\text{판별식}} / 2\text{a}\))을 더하거나 빼는 형태로 "i"를 붙여 나타냅니다.
예제로 따라하기
a = 1, b = −3, c = 2라고 해 봅시다. 판별식은 \((-3)^{2} - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\)로 양수이므로 두 개의 실근이 나옵니다.
- $$x = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \mathbf{2}$$
- $$x = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \mathbf{1}$$
a = 1, b = 0, c = 1인 경우, 판별식은 \(0 - 4 = -4\)(음수)가 되어 복소근 0 + 1i와 0 − 1i를 얻습니다.
자주 묻는 질문
계수 a에 0을 입력하면 어떻게 되나요? 그 방정식은 더 이상 이차방정식이 아니며, 2a(이때 0이 됩니다)로 나누게 되므로 결과가 정의되지 않습니다. a에는 항상 0이 아닌 값을 사용하세요.
왜 가끔 복소근이 나오나요? 판별식이 음수일 때는 포물선이 x축과 만나지 않으므로 실수 해가 없습니다. 이때는 허수 단위 "i"로 나타내는 복소근만 존재합니다.
소수 계수도 사용할 수 있나요? 네. 이 계산기는 소수와 음수를 모두 받아들이며, 정확히 정수로 떨어지는 답은 깔끔하게, 필요한 경우에는 소수점 정밀도를 유지하여 표시합니다.
