이 계산기의 기능
이 이차식 인수분해 계산기는 \(ax^2 + bx + c\) 형태의 이차식을 두 일차식의 곱, 즉 \(a(x - r_1)(x - r_2)\) 꼴로 바꿔 줍니다. 깔끔한 정수 계수뿐만 아니라 어떤 실수 계수에도 적용되며, 근의 공식으로 근을 구한 뒤 이를 이용해 인수분해 형태를 만들어 냅니다. 또한 판별식을 함께 보여 주므로, 해당 이차식이 실수 범위에서 인수분해되는지 한눈에 확인할 수 있습니다.
사용 방법
세 개의 계수를 입력하세요. a는 x²의 계수, b는 x의 계수, c는 상수항입니다. 계산 버튼을 누르면 인수분해된 일차식의 곱, 두 근, 그리고 판별식 \(b^2 - 4ac\) 값을 알려 줍니다. 판별식이 음수이면 실수 범위에서 인수분해가 불가능하며, 이 경우 계산기는 켤레복소수 근을 대신 표시합니다.
공식 설명
근은 근의 공식 $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 에서 구합니다. 제곱근 안에 있는 \(b^2 - 4ac\)가 바로 판별식입니다. 이 값이 양수이면 서로 다른 두 실근을 가지고, 0이면 중근(완전제곱식)을 가지며, 음수이면 근이 복소수가 됩니다. 두 근 \(r_1\), \(r_2\)를 구하면 원래 이차식은 $$ax^2 + bx + c = a(x - r_1)(x - r_2)$$ 와 같아집니다. 이 곱을 전개하면 원래 계수가 그대로 복원되기 때문입니다.
예제 풀이
\(x^2 - 5x + 6\)을 인수분해해 봅시다. 여기서 \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)입니다. 판별식은 $$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ 입니다. 근은 \((5 \pm 1) / 2 = 3\)과 \(2\)이므로, $$x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)$$ 가 됩니다. 직접 곱해서 확인해 볼까요? $$x^2 - 2x - 3x + 6 = x^2 - 5x + 6 \checkmark$$
자주 묻는 질문
a = 0이면 어떻게 되나요? 이 경우는 이차식이 아니라 일차식이므로 두 일차식의 곱으로 인수분해할 수 없습니다. 계산기가 이 상황을 알려 줍니다.
판별식이 음수이면 무슨 의미인가요? 실근이 존재하지 않으므로 실수 범위에서는 인수분해할 수 없습니다. 이때 근은 켤레복소수 쌍 \(p \pm qi\) 형태가 됩니다.
근이 분수나 소수가 될 수도 있나요? 네. 인수가 정수가 아니더라도, 표시되는 \(a(x - r_1)(x - r_2)\) 형태는 주어진 계수에 대해 정확한 값입니다.
