यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह द्विघात गुणनखंड कैलकुलेटर \(ax^2 + bx + c\) रूप के किसी भी द्विघात व्यंजक को लेकर उसे द्विपदों के गुणनफल \(a(x - r_1)(x - r_2)\) के रूप में लिख देता है। यह सिर्फ़ "साफ-सुथरे" पूर्णांकों तक सीमित नहीं है — किसी भी वास्तविक गुणांक के लिए काम करता है। यह द्विघात सूत्र से मूल निकालकर उन्हीं की मदद से गुणनखंडित रूप तैयार करता है। साथ ही यह विविक्तकर (discriminant) भी बताता है, ताकि आप एक नज़र में समझ सकें कि क्या यह द्विघात वास्तविक संख्याओं में गुणनखंडित हो सकता है या नहीं।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों गुणांक डालें: \(a\) (\(x^2\) के आगे की संख्या), \(b\) (\(x\) के आगे की संख्या), और \(c\) (अचर पद)। फिर "कैलकुलेट" दबाएं। यह टूल आपको गुणनखंडित द्विपद रूप, दोनों मूल, और विविक्तकर \(b^2 - 4ac\) देता है। अगर विविक्तकर ऋणात्मक हो, तो द्विघात का कोई वास्तविक गुणनखंड नहीं होता, और ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर सम्मिश्र संयुग्मी मूल (complex conjugate roots) दिखा देता है।
सूत्र की व्याख्या
मूल द्विघात सूत्र से आते हैं: $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ वर्गमूल के अंदर की राशि, यानी \(b^2 - 4ac\), विविक्तकर कहलाती है। जब यह धनात्मक हो, तब दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं; जब यह शून्य हो, तब एक ही दोहराया गया मूल होता है (पूर्ण वर्ग); और जब यह ऋणात्मक हो, तब मूल सम्मिश्र होते हैं। मूल \(r_1\) और \(r_2\) मिलने पर, मूल द्विघात \(a(x - r_1)(x - r_2)\) के बराबर होता है, क्योंकि इस गुणनफल को फैलाने पर वही गुणांक वापस मिल जाते हैं।
हल किया गया उदाहरण
आइए \(x^2 - 5x + 6\) का गुणनखंड करें। यहाँ \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\) है। विविक्तकर है $$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ मूल हैं $$\frac{5 \pm 1}{2} = 3 \text{ और } 2$$ इसलिए \(x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)\)। आप गुणा करके जाँच सकते हैं: \(x^2 - 2x - 3x + 6 = x^2 - 5x + 6\)। ✓
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर \(a = 0\) हो तो? तब यह व्यंजक रैखिक (linear) होता है, द्विघात नहीं, और इसे दो द्विपदों में गुणनखंडित नहीं किया जा सकता — कैलकुलेटर ऐसी स्थिति को चिह्नित कर देता है।
ऋणात्मक विविक्तकर का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि द्विघात के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, इसलिए इसे वास्तविक संख्याओं से गुणनखंडित नहीं किया जा सकता; मूल एक सम्मिश्र संयुग्मी जोड़ी \(p \pm qi\) होते हैं।
क्या मूल भिन्न या दशमलव में हो सकते हैं? हाँ। भले ही गुणनखंड पूर्ण संख्याएँ न हों, फिर भी दिखाया गया द्विपद रूप \(a(x - r_1)(x - r_2)\) दिए गए गुणांकों के लिए बिल्कुल सटीक रहता है।
