द्विघात समीकरण क्या है?
द्विघात समीकरण एक दूसरी घात वाला बहुपद होता है, जिसका रूप \(ax^2 + bx + c = 0\) होता है। यहाँ a, b और c स्थिरांक हैं और a ≠ 0 होना ज़रूरी है। इसका आलेख (ग्राफ़) एक परवलय बनाता है, और इसके हल — जिन्हें मूल कहते हैं — वे x-मान हैं जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है। यह कैलकुलेटर इन मूलों को तुरंत खोज देता है, चाहे वे वास्तविक हों या सम्मिश्र।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीनों गुणांक भरें: a (x² का गुणांक), b (x का गुणांक) और c (अचर पद)। कैलकुलेटर विविक्तकर की गणना करके मूल लौटा देता है। यदि a = 0 हो तो समीकरण द्विघात नहीं रहता, इसलिए आपसे कोई शून्येतर (नॉन-ज़ीरो) मान भरने को कहा जाएगा।
सूत्र की व्याख्या
मूल द्विघात सूत्र
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$से मिलते हैं। वर्गमूल के अंदर वाला व्यंजक
$$\Delta = b^2 - 4ac$$विविक्तकर कहलाता है। जब \(\Delta > 0\) हो तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं; जब \(\Delta = 0\) हो तो एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल होता है; और जब \(\Delta < 0\) हो तो मूल सम्मिश्र संयुग्मी (कॉम्प्लेक्स कन्जुगेट) होते हैं, जिनका रूप \(\left(-\frac{b}{2a}\right) \pm \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i\) है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(x^2 - 3x + 2 = 0\) को हल करें। यहाँ \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\) है। विविक्तकर है
$$(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$$फिर
$$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$जिससे \(x = 2\) और \(x = 1\) मिलते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर विविक्तकर ऋणात्मक हो तो? तब समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं होता; इसके बजाय दो सम्मिश्र मूल होते हैं, जिन्हें यह टूल \(a \pm bi\) के रूप में दिखाता है।
क्या a शून्य हो सकता है? नहीं। यदि a = 0 हो तो समीकरण रैखिक हो जाता है, द्विघात नहीं रहता, और द्विघात सूत्र लागू नहीं होता।
दोहराया हुआ मूल का क्या मतलब है? जब \(\Delta = 0\) हो तो परवलय x-अक्ष को सिर्फ़ एक ही बिंदु पर छूता है, इसलिए दोनों मूल समान होते हैं।
