द्विघात समीकरण सॉल्वर

गणना दर्ज करें

a (coefficient of x²)

b (x का गुणांक)

c (अचर पद)

सार्थक अंक 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

सूत्र (फॉर्मूला)

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1. Discriminant

   

   D > 0: two distinct real roots; D = 0: one repeated real root; D < 0: two complex conjugate roots.

परिणाम

Roots of ax² + bx + c = 0

x₁ = 1, x₂ = -2.5

Two distinct real roots

Discriminant (D = b² − 4ac)	49
Root x₁ (real part)	1
Root x₁ (imaginary part)	0
Root x₂ (real part)	-2.5
Root x₂ (imaginary part)	0

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लिखे किसी भी द्विघात समीकरण को हल करता है, जहाँ a, b और c वास्तविक गुणांक हैं और a ≠ 0। यह दोनों मूल (वास्तविक हों या सम्मिश्र), विविक्तकर, और मूलों की प्रकृति को सरल शब्दों में बताता है।

इसका उपयोग कैसे करें

तीनों गुणांक दर्ज करें। गुणांक a x² के साथ गुणा होता है, b x के साथ, और c अचर पद है। यदि a शून्य है तो समीकरण द्विघात नहीं रह जाता, इसलिए कैलकुलेटर आपसे शून्येतर मान दर्ज करने को कहता है। ड्रॉपडाउन से चुनें कि परिणाम कितने सार्थक अंकों तक दिखे; इससे केवल आउटपुट की पूर्णांकन (राउंडिंग) बदलती है, अंदरूनी गणना नहीं।

सूत्र की व्याख्या

मूल द्विघात सूत्र $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ से प्राप्त होते हैं, जहाँ विविक्तकर $$D = b^{2} - 4ac$$ है। जब \(D > 0\) हो तो दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। जब \(D = 0\) हो तो ± वाला पद लुप्त हो जाता है और एक ही दोहराया गया वास्तविक मूल \(x = -b / (2a)\) मिलता है। जब \(D < 0\) हो तो वर्गमूल काल्पनिक हो जाता है, जिससे एक सम्मिश्र संयुग्मी युग्म बनता है — वास्तविक भाग \(-b / (2a)\) और काल्पनिक भाग \(\sqrt{-D} / (2a)\)।

विविक्तकर का चिह्न तय करता है कि परवलय x-अक्ष को दो बार, एक बार या बिल्कुल नहीं काटता।

द्विघात सूत्र, जिसमें वर्गमूल के नीचे विविक्तकर b² − 4ac है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -5\): $$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$ चूँकि \(D > 0\) है, \(\sqrt{49} = 7\), इसलिए \(x_1 = (-3 + 7) / 4 = 1\) और \(x_2 = (-3 - 7) / 4 = -2.5\)। अतः मूल \(1\) और \(-2.5\) हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

यदि विविक्तकर ऋणात्मक हो तो क्या होगा? तब आपको \(p \pm qi\) रूप के दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल मिलते हैं; यह कैलकुलेटर वास्तविक भाग \(p\) और काल्पनिक भाग \(q\) को अलग-अलग दिखाता है।

a का शून्येतर होना क्यों ज़रूरी है? यदि \(a = 0\) हो तो x² वाला पद गायब हो जाता है और समीकरण रैखिक (bx + c = 0) बन जाता है, जिससे द्विघात सूत्र में 2a से भाग देना अपरिभाषित हो जाता है।

क्या सार्थक अंकों की सेटिंग उत्तर बदल देती है? नहीं। यह केवल यह तय करती है कि कितने अंक दिखाए जाएँ; गणना पूरी डबल प्रिसीज़न में होती है और प्रदर्शन के लिए बाद में पूर्णांकित की जाती है।