चतुर्घात समीकरण सॉल्वर

गणना दर्ज करें

a (x⁴)

b (x³)

c (x²)

d (x)

e (अचर पद)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Depressed Quartic (Substitution)

   

   With x = y - B/4 and monic coefficients B=b/a, C=c/a, D=d/a, E=e/a, the quartic reduces to y^4 + p y^2 + q y + r = 0 which Ferrari method solves.

परिणाम

चतुर्घात समीकरण के चारों मूल

x1

-2

x2

1

x3

3

x4

5

विधि	फेरारी विधि (रिज़ॉल्वेंट घन समीकरण)
मूलों की संख्या	4 (बहुलता सहित, सम्मिश्र तल में)

चतुर्घात समीकरण सॉल्वर क्या है?

यह कैलकुलेटर \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\) के रूप वाले चतुर्घात (चौथी घात के) बहुपद समीकरण के चारों मूल ज्ञात करता है। यह फेरारी विधि (Ferrari's method) पर आधारित है, जो एक सटीक बीजगणितीय तकनीक है — इसलिए यह वास्तविक और सम्मिश्र दोनों प्रकार के मूल संख्यात्मक पुनरावृत्ति के बजाय बिल्कुल सटीक रूप से लौटाता है। वास्तविक गुणांकों वाले हर चतुर्घात समीकरण के सम्मिश्र तल में ठीक चार मूल होते हैं, और कोई भी सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी जोड़ों (conjugate pairs) में आते हैं।

एक चतुर्घात समीकरण के अधिकतम चार वास्तविक मूल हो सकते हैं, जहाँ इसका वक्र x-अक्ष को काटता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पाँचों गुणांक a, b, c, d और e दर्ज करें। अग्रणी गुणांक a शून्य नहीं होना चाहिए, वरना समीकरण चतुर्घात नहीं रहेगा। यदि आपके बहुपद में कोई पद अनुपस्थित है, तो उन गुणांकों को शून्य ही रहने दें। गणना करने के लिए बटन दबाएँ और x1 से x4 तक के मूल देखें। वास्तविक मूल में कोई काल्पनिक भाग नहीं दिखता; सम्मिश्र मूल \(p + qi\) के रूप में दिखाए जाते हैं।

सूत्र की व्याख्या

सबसे पहले समीकरण को a से भाग देकर मोनिक (monic) बनाया जाता है। प्रतिस्थापन \(x = y - b/(4a)\) से एक अवनत चतुर्घात (depressed quartic) \(y^{4} + p y^{2} + q y + r = 0\) प्राप्त होता है, जिसमें घन (cubic) पद नहीं होता। इसके बाद फेरारी विधि एक रिज़ॉल्वेंट घन समीकरण (resolvent cubic) का एक वास्तविक मूल \(m\) ज्ञात करती है, जिसकी मदद से अवनत चतुर्घात को दो द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। प्रत्येक द्विघात को सम्मिश्र द्विघात सूत्र से हल करने पर चार y-मान मिलते हैं; फिर \(x = y - b/(4a)\) से वापस बदलने पर असली मूल प्राप्त होते हैं।

फेरारी की विधि चतुर्घात को एक विभेदक त्रिघात और दो द्विघात गुणनखंडों में बदल देती है।

हल किया हुआ उदाहरण

$$x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0$$ (\(a=1, b=-7, c=5, d=31, e=-30\)) के लिए बहुपद का गुणनखंडन \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\) होता है। सॉल्वर लौटाता है \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 5\) — सभी वास्तविक।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या यह सम्मिश्र मूल भी संभाल सकता है? हाँ। उदाहरण के लिए \(x^{4} + 1 = 0\) के लिए यह \(-1\) के चार सम्मिश्र चौथे मूल लौटाता है, लगभग \(\pm 0.7071 \pm 0.7071i\)।

अगर a शून्य हो तो? तब समीकरण चतुर्घात नहीं रहता और कैलकुलेटर त्रुटि दिखाता है; ऐसी स्थिति में घन (cubic) या द्विघात (quadratic) सॉल्वर का उपयोग करें।

क्या यह दोहरे (repeated) मूल संभालता है? हाँ। \((x-2)^{4} = 0\) जैसे समीकरण के लिए यह \(x = 2\) को चार बार लौटाता है।