4차방정식 풀이 계산기

계산 입력

a (x⁴)

b (x³)

c (x²)

d (x)

e (상수항)

공식

Show calculation steps (1)

1. Depressed Quartic (Substitution)

   

   With x = y - B/4 and monic coefficients B=b/a, C=c/a, D=d/a, E=e/a, the quartic reduces to y^4 + p y^2 + q y + r = 0 which Ferrari method solves.

결과

4차방정식의 네 근

x1

-2

x2

1

x3

3

x4

5

해법	페라리의 해법 (분해 3차방정식)
근의 개수	4개 (복소평면에서 중복도 포함)

4차방정식 풀이 계산기란?

이 계산기는 \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\) 형태의 4차(사차) 다항식 방정식이 갖는 네 근을 모두 찾아 줍니다. 수치 반복법이 아니라 정확한 대수적 기법인 페라리(Ferrari)의 해법을 사용하므로 실근과 허근을 오차 없이 정밀하게 구할 수 있습니다. 실수 계수를 갖는 4차방정식은 복소평면에서 항상 정확히 네 개의 근을 가지며, 허근이 나타날 경우 반드시 켤레복소수 쌍으로 등장합니다.

사차 방정식은 곡선이 x축과 만나는 지점에서 최대 네 개의 실근을 가질 수 있습니다.

사용 방법

다섯 개의 계수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)를 입력하세요. 최고차항 계수 \(a\)는 0이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 4차방정식이 성립하지 않습니다. 빠진 항이 있다면 해당 계수를 0으로 두면 됩니다. 계산하기를 누르면 \(x_1\)부터 \(x_4\)까지의 근이 표시됩니다. 실근은 허수부 없이 나타나고, 허근은 \(p + qi\) 형태로 표시됩니다.

공식 풀이 과정

먼저 양변을 \(a\)로 나누어 방정식을 모닉(최고차항 계수가 1)으로 만듭니다. 이어서 \(x = y - b/(4a)\)로 치환하면 3차항이 사라진 약화 4차방정식(depressed quartic) $$y^{4} + p\,y^{2} + q\,y + r = 0$$ 이 얻어집니다. 그다음 페라리의 해법으로 분해 3차방정식(resolvent cubic)의 실근 \(m\)을 구하면, 약화 4차방정식을 두 개의 2차식 곱으로 표현할 수 있습니다. 각 2차식을 복소수 근의 공식으로 풀면 네 개의 \(y\) 값이 나오고, 이를 \(x = y - b/(4a)\)로 되돌리면 최종 근을 얻습니다.

페라리의 방법은 사차식을 분해 삼차식과 두 개의 이차 인수로 축소합니다.

예제 풀이

$$x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0$$ (\(a=1\), \(b=-7\), \(c=5\), \(d=31\), \(e=-30\))의 경우, 이 다항식은 \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\)로 인수분해됩니다. 계산기는 \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 5\)를 반환하며 네 근 모두 실근입니다.

자주 묻는 질문

허근도 구할 수 있나요? 네, 가능합니다. 예를 들어 \(x^{4} + 1 = 0\)은 \(-1\)의 네 복소수 네제곱근, 즉 약 \(\pm 0.7071 \pm 0.7071i\)를 반환합니다.

a가 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 더 이상 4차방정식이 아니므로 계산기가 오류를 표시합니다. 대신 3차방정식 또는 2차방정식 계산기를 사용하세요.

중근도 처리할 수 있나요? 네. 예를 들어 \((x-2)^{4} = 0\)은 \(x = 2\)를 네 번 반환합니다.