4차방정식 풀이 계산기란?
이 계산기는 \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\) 형태의 4차(사차) 다항식 방정식이 갖는 네 근을 모두 찾아 줍니다. 수치 반복법이 아니라 정확한 대수적 기법인 페라리(Ferrari)의 해법을 사용하므로 실근과 허근을 오차 없이 정밀하게 구할 수 있습니다. 실수 계수를 갖는 4차방정식은 복소평면에서 항상 정확히 네 개의 근을 가지며, 허근이 나타날 경우 반드시 켤레복소수 쌍으로 등장합니다.
사용 방법
다섯 개의 계수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)를 입력하세요. 최고차항 계수 \(a\)는 0이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 4차방정식이 성립하지 않습니다. 빠진 항이 있다면 해당 계수를 0으로 두면 됩니다. 계산하기를 누르면 \(x_1\)부터 \(x_4\)까지의 근이 표시됩니다. 실근은 허수부 없이 나타나고, 허근은 \(p + qi\) 형태로 표시됩니다.
공식 풀이 과정
먼저 양변을 \(a\)로 나누어 방정식을 모닉(최고차항 계수가 1)으로 만듭니다. 이어서 \(x = y - b/(4a)\)로 치환하면 3차항이 사라진 약화 4차방정식(depressed quartic) $$y^{4} + p\,y^{2} + q\,y + r = 0$$ 이 얻어집니다. 그다음 페라리의 해법으로 분해 3차방정식(resolvent cubic)의 실근 \(m\)을 구하면, 약화 4차방정식을 두 개의 2차식 곱으로 표현할 수 있습니다. 각 2차식을 복소수 근의 공식으로 풀면 네 개의 \(y\) 값이 나오고, 이를 \(x = y - b/(4a)\)로 되돌리면 최종 근을 얻습니다.
예제 풀이
$$x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0$$ (\(a=1\), \(b=-7\), \(c=5\), \(d=31\), \(e=-30\))의 경우, 이 다항식은 \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\)로 인수분해됩니다. 계산기는 \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 5\)를 반환하며 네 근 모두 실근입니다.
자주 묻는 질문
허근도 구할 수 있나요? 네, 가능합니다. 예를 들어 \(x^{4} + 1 = 0\)은 \(-1\)의 네 복소수 네제곱근, 즉 약 \(\pm 0.7071 \pm 0.7071i\)를 반환합니다.
a가 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 더 이상 4차방정식이 아니므로 계산기가 오류를 표시합니다. 대신 3차방정식 또는 2차방정식 계산기를 사용하세요.
중근도 처리할 수 있나요? 네. 예를 들어 \((x-2)^{4} = 0\)은 \(x = 2\)를 네 번 반환합니다.
