이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 \(a \cdot b^{x} = c\) 형태로 쓰인 지수방정식에서 미지의 지수 x를 구해 줍니다. 지수방정식은 복리 이자, 인구 증가, 방사성 붕괴, 화학 반응 등 일정한 비율로 반복해서 곱해지는 현상이 있는 곳이라면 어디서나 등장합니다. 일일이 값을 추측하는 대신, 이 계산기는 로그를 활용해 x를 정확하게 구합니다.
사용 방법
세 개의 숫자를 입력하세요. 계수 a(x = 0일 때의 값), 밑 b(증가 또는 감소 비율), 결괏값 c(목표 값)입니다. 계산 버튼을 누르면 지수 x, 비율 c/a, 그리고 \(a \cdot b^{x}\)의 검산 결과까지 함께 보여 주므로 답을 바로 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
\(a \cdot b^{x} = c\)에서 출발해 양변을 a로 나누면 \(b^{x} = c/a\)가 됩니다. 양변에 로그를 취하고 거듭제곱 법칙을 적용하면 \(x \cdot \log(b) = \log(c/a)\)가 되죠. 마지막으로 log(b)로 나누면 지수만 남습니다.
$$x = \frac{\ln\!\left(\dfrac{\text{Result }c}{\text{Coefficient }a}\right)}{\ln\!\left(\text{Base }b\right)}$$
로그의 밑은 어떤 값을 써도 됩니다. 분자와 분모에서 서로 약분되기 때문입니다. 단, 실수해가 존재하려면 \(a \neq 0\), \(c/a > 0\), 그리고 밑 \(b > 0\)이면서 \(b \neq 1\)이어야 합니다.
예제 풀이
\(2 \cdot 3^{x} = 54\)를 풀어 봅시다. 먼저 \(c/a = 54/2 = 27\)입니다. 그러면 $$x = \frac{\log(27)}{\log(3)} = 3$$이 되는데, \(3^{3} = 27\)이기 때문입니다. 검산하면 \(2 \cdot 3^{3} = 2 \cdot 27 = 54\). ✓
자주 묻는 질문
왜 c/a는 양수여야 하나요? 양수인 밑을 어떤 실수로 거듭제곱하더라도 결과는 항상 양수입니다. 따라서 \(b^{x} = c/a\)는 \(c/a > 0\)일 때만 풀 수 있습니다.
밑이 e여도 되나요? 네. \(b = 2.71828\)을 입력하면 \(a \cdot e^{x} = c\) 형태의 자연지수 방정식을 풀 수 있습니다.
실수해가 없으면 어떻게 되나요? a가 0이거나, 밑이 유효하지 않거나, c/a가 양수가 아니면 계산기는 실수해가 존재하지 않는다고 알려 줍니다.
