Калькулятор показательных уравнений (a·bˣ = c)

Введите расчет

Коэффициент a

Основание b

Результат c

Результатов

Решение для x

3

where a·b^x = c

c / a (отношение)	27
Check: a·bx	54

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент решает показательные уравнения вида \(a\cdot b^{x} = c\) относительно неизвестного показателя степени x. Показательные уравнения встречаются буквально повсюду — в расчётах сложных процентов, при моделировании роста населения, в законах радиоактивного распада и в химии, то есть везде, где величина многократно умножается на постоянный множитель. Вместо того чтобы подбирать ответ наугад, калькулятор находит x точно с помощью логарифмов.

Как пользоваться

Введите три числа: коэффициент a (значение при x = 0), основание b (множитель роста или убывания) и результат c (целевое значение). Нажмите «Рассчитать» — и калькулятор покажет показатель x, отношение c/a, а также проверку выражения a·b^x, чтобы вы могли убедиться в правильности ответа.

Разбор формулы

Начнём с уравнения \(a\cdot b^{x} = c\). Разделим обе части на a и получим \(b^{x} = c/a\). Теперь возьмём логарифм от обеих частей и применим правило логарифма степени: \(x\cdot\log(b) = \log(c/a)\). Осталось разделить обе части на \(\log(b)\), чтобы выразить показатель:

$$x = \frac{\ln\!\left(\dfrac{\text{Result }c}{\text{Coefficient }a}\right)}{\ln\!\left(\text{Base }b\right)}$$

Можно брать логарифм по любому основанию — в отношении оно всё равно сократится. Действительное решение существует только при \(a \neq 0\), \(c/a > 0\) и основании \(b > 0\) при \(b \neq 1\).

Реклама

Логарифмирование обеих частей выделяет показатель x.

Пример решения

Решим уравнение \(2\cdot 3^{x} = 54\). Сначала находим \(c/a = 54/2 = 27\). Затем $$x = \frac{\log(27)}{\log(3)} = 3,$$ поскольку \(3^{3} = 27\). Проверка: \(2\cdot 3^{3} = 2\cdot 27 = 54\). ✓

Решение x — это точка, где экспоненциальная кривая достигает целевого значения c.

Частые вопросы

Почему отношение c/a должно быть положительным? Положительное основание в любой действительной степени всегда даёт положительное число, поэтому уравнение \(b^{x} = c/a\) имеет решение только при \(c/a > 0\).

Можно ли взять основание e? Да — введите b = 2.71828, чтобы решать уравнения с натуральной экспонентой вида \(a\cdot e^{x} = c\).

Что делать, если действительного решения нет? Если a равно нулю, основание задано некорректно или отношение c/a не положительно, калькулятор сообщит, что действительного решения не существует.