Калькулятор решения кубических уравнений

Введите расчет

a (x³ coefficient)

b (x² coefficient)

c (коэффициент при x)

d (свободный член)

Значащих цифр 61014182226303438424650

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Discriminant

   

   The sign of the discriminant of the depressed cubic determines the nature of the roots.

Результатов

Корни кубического уравнения

x₁ = 4
x₂ = 1
x₃ = -3

three distinct real roots

4.0 0.0 1.0 0.0 -3.0 0.0

Метод	Метод Кардано (приведённое кубическое уравнение)
Discriminant Δ	-65,333333
Классификация	three distinct real roots

Что умеет этот калькулятор

Инструмент решает любое кубическое уравнение вида \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) и выдаёт все три корня. В зависимости от уравнения это могут быть три различных действительных числа, кратный действительный корень или один действительный корень вместе с парой комплексно-сопряжённых. Это чистая математика, которая работает одинаково в любой точке мира.

Как пользоваться

Введите четыре коэффициента: a, b, c и d. Старший коэффициент a не должен быть равен нулю — иначе уравнение перестаёт быть кубическим. Укажите, сколько значащих цифр выводить, и считайте результат: три корня, дискриминант и классификацию корней.

Как работает формула

Сначала нормируем уравнение, разделив всё на a, и получаем \(x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\). Подстановка \(x = t - B/3\) убирает квадратичный член и приводит к неполному (приведённому) кубическому уравнению \(t^3 + pt + q = 0\), где $$p = C - \frac{B^2}{3}, \quad q = \frac{2B^3}{27} - \frac{BC}{3} + D.$$ Дискриминант $$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$$ определяет, какой случай перед нами. При \(\Delta > 0\) есть один действительный и два комплексных корня (радикальная форма Кардано); при \(\Delta = 0\) имеется кратный действительный корень; при \(\Delta < 0\) все три корня действительные, и мы применяем тригонометрическую форму \(t_k = m\cdot\cos(\theta - 2\pi k/3)\). Наконец, каждый корень сдвигается обратно на \(-B/3\).

Знак дискриминанта показывает, все ли корни действительны или есть пара комплексных.

Действительные корни кубического уравнения находятся там, где его кривая пересекает ось x.

Разобранный пример

Для уравнения \(x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\) получаем \(p = -37/3\), \(q = 4{,}07407\) и \(\Delta \approx -65{,}33 < 0\), то есть три действительных корня. Тригонометрическая форма даёт \(x = 4\), \(x = 1\) и \(x = -3\), что действительно раскладывается на множители \((x-4)(x-1)(x+3)\).

Частые вопросы

Почему a не может быть нулём? Если \(a = 0\), старший член исчезает, и уравнение становится самое большее квадратным — метод Кардано к нему уже неприменим.

Что показывает дискриминант? Его знак классифицирует корни: положительный — один действительный и два комплексных корня, ноль — кратный действительный корень, отрицательный — три различных действительных корня.

Как отображаются комплексные корни? Если они есть, то выводятся в виде сопряжённой пары \(re + im\cdot i\) и \(re - im\cdot i\); у чисто действительных корней мнимая часть равна нулю.