Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve cualquier ecuación cúbica de la forma \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) y te devuelve sus tres raíces. Según la ecuación, las raíces pueden ser tres números reales distintos, una raíz real repetida, o una raíz real acompañada de dos raíces complejas conjugadas. Es matemática pura, así que funciona igual en cualquier parte del mundo.
Cómo usarla
Introduce los cuatro coeficientes a, b, c y d. El coeficiente principal a debe ser distinto de cero (de lo contrario la ecuación deja de ser cúbica). Elige con cuántas cifras significativas quieres ver el resultado y consulta las tres raíces, el discriminante y la clasificación de las raíces.
La fórmula explicada
Primero normalizamos dividiendo todo entre a, lo que da \(x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\). La sustitución \(x = t - B/3\) elimina el término cuadrático y genera una cúbica reducida \(t^3 + pt + q = 0\), con $$p = C - \frac{B^2}{3},\quad q = \frac{2B^3}{27} - \frac{BC}{3} + D.$$ El discriminante $$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$$ nos indica entonces en qué caso estamos. Cuando \(\Delta > 0\) hay una raíz real y dos complejas (la forma radical de Cardano); cuando \(\Delta = 0\) hay una raíz real repetida; y cuando \(\Delta < 0\) las tres raíces son reales y se usa la forma trigonométrica \(t_k = m\cdot\cos(\theta - 2\pi k/3)\). Por último, cada raíz se desplaza de vuelta restando \(B/3\).
Ejemplo resuelto
Para \(x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\) obtenemos \(p = -\frac{37}{3}\), \(q = 4{,}07407\) y \(\Delta \approx -65{,}33 < 0\), de modo que hay tres raíces reales. La forma trigonométrica da \(x = 4\), \(x = 1\) y \(x = -3\), que efectivamente se factorizan como \((x-4)(x-1)(x+3)\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué a tiene que ser distinto de cero? Si \(a = 0\) desaparece el término de mayor grado y la ecuación pasa a ser, como mucho, cuadrática, por lo que el método de Cardano ya no se aplica.
¿Qué significa el discriminante? Su signo clasifica las raíces: positivo indica una raíz real y dos complejas, cero una raíz real repetida, y negativo tres raíces reales distintas.
¿Cómo se muestran las raíces complejas? Cuando aparecen, se presentan como un par conjugado \(re + im\cdot i\) y \(re - im\cdot i\); las raíces puramente reales tienen la parte imaginaria igual a cero.
