À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout toute équation du troisième degré de la forme \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) et en renvoie les trois racines. Selon l'équation, ces racines peuvent être trois réels distincts, une racine réelle multiple, ou une racine réelle accompagnée de deux racines complexes conjuguées. Il s'agit de mathématiques pures : le résultat est identique partout dans le monde.
Mode d'emploi
Saisissez les quatre coefficients a, b, c et d. Le coefficient dominant a doit être non nul (sinon l'équation n'est plus cubique). Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis lisez les trois racines, le discriminant et la classification des racines.
La formule expliquée
On commence par normaliser l'équation en la divisant par a, ce qui donne \(x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\). La substitution \(x = t - \tfrac{B}{3}\) élimine le terme du second degré et conduit à une cubique réduite \(t^3 + pt + q = 0\), avec $$p = C - \frac{B^2}{3},\quad q = \frac{2B^3}{27} - \frac{BC}{3} + D$$ Le discriminant $$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$$ indique alors le cas de figure. Lorsque \(\Delta > 0\), on obtient une racine réelle et deux racines complexes (forme radicale de Cardan) ; lorsque \(\Delta = 0\), il existe une racine réelle multiple ; et lorsque \(\Delta < 0\), les trois racines sont réelles et l'on utilise la forme trigonométrique \(t_k = m\cdot\cos\left(\theta - \tfrac{2\pi k}{3}\right)\). Enfin, chaque racine est ramenée à sa valeur initiale par le décalage \(-\tfrac{B}{3}\).
Exemple résolu
Pour \(x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\), on trouve \(p = -\tfrac{37}{3}\), \(q = 4{,}07407\) et \(\Delta \approx -65{,}33 < 0\) : il y a donc trois racines réelles. La forme trigonométrique donne \(x = 4\), \(x = 1\) et \(x = -3\), qui correspondent bien à la factorisation \((x-4)(x-1)(x+3)\).
Questions fréquentes
Pourquoi a doit-il être non nul ? Si \(a = 0\), le terme de plus haut degré disparaît et l'équation devient au mieux du second degré : la méthode de Cardan ne s'applique alors plus.
Que signifie le discriminant ? Son signe classe les racines : positif, il y a une racine réelle et deux racines complexes ; nul, il existe une racine réelle multiple ; négatif, il y a trois racines réelles distinctes.
Comment les racines complexes sont-elles affichées ? Lorsqu'elles existent, elles apparaissent sous la forme d'une paire conjuguée \(\text{re} + \text{im}\cdot i\) et \(\text{re} - \text{im}\cdot i\) ; les racines purement réelles ont une partie imaginaire nulle.
