この計算ツールでできること
このツールは \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) の形をした三次方程式を解き、3つの根をすべて求めます。方程式によって、解は「異なる3つの実数解」「重解を含む実数解」または「1つの実数解と2つの共役複素数解」のいずれかになります。純粋な数学の計算なので、どの国でも結果は同じです。
使い方
4つの係数 a、b、c、d を入力します。最高次の係数 a は 0 以外でなければなりません（a = 0 では三次方程式になりません）。表示する有効桁数を選ぶと、3つの根・判別式・解の種類の判定が表示されます。
計算式の解説
まず全体を a で割って正規化し、\(x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\) とします。次に \(x = t - B/3\) と置き換えると二次の項が消え、\(p = C - B^2/3\)、\(q = 2B^3/27 - BC/3 + D\) を係数とする簡約形 \(t^3 + pt + q = 0\) が得られます。判別式 $$\Delta = \left(\tfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{p}{3}\right)^3$$ によって場合分けが決まります。\(\Delta > 0\) のときは実数解1つと複素数解2つ（カルダノの公式の根号形）、\(\Delta = 0\) のときは重解（実数）、\(\Delta < 0\) のときは3つすべてが実数解となり、三角関数を用いた形 \(t_k = m\cdot\cos(\theta - 2\pi k/3)\) で求めます。最後に各解を \(-B/3\) だけ平行移動して元に戻します。
計算例
\(x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\) の場合、\(p = -37/3\)、\(q = 4.07407\)、\(\Delta \approx -65.33 < 0\) となるため、3つの実数解を持ちます。三角関数の形で計算すると \(x = 4\)、\(x = 1\)、\(x = -3\) が得られ、実際に \((x-4)(x-1)(x+3)\) と因数分解できます。
よくある質問
なぜ a は 0 以外でなければならないのですか？ a = 0 の場合は最高次の項が消えてしまい、方程式は高々二次となるため、カルダノの公式は適用できません。
判別式は何を表しますか？ 判別式の符号によって解の種類が分かります。正なら実数解1つと複素数解2つ、0 なら重解（実数）、負なら異なる3つの実数解です。
複素数解はどのように表示されますか？ 複素数解がある場合は、共役なペア \(re + im\cdot i\) と \(re - im\cdot i\) として表示されます。実数解の場合は虚部が 0 になります。
