घन समीकरण हल करने वाला कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

a (x³ coefficient)

b (x² coefficient)

c (x का गुणांक)

d (अचर पद)

सार्थक अंक 61014182226303438424650

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Discriminant

   

   The sign of the discriminant of the depressed cubic determines the nature of the roots.

परिणाम

घन समीकरण के मूल

x₁ = 4
x₂ = 1
x₃ = -3

three distinct real roots

4.0 0.0 1.0 0.0 -3.0 0.0

विधि	कार्डानो विधि (न्यूनीकृत घन)
Discriminant Δ	-65.333333
वर्गीकरण	three distinct real roots

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) के रूप वाले किसी भी घन समीकरण को हल करता है और इसके तीनों मूल लौटाता है। समीकरण के आधार पर ये मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएं हो सकते हैं, एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल हो सकता है, या एक वास्तविक मूल के साथ दो सम्मिश्र-संयुग्मी मूल भी हो सकते हैं। यह शुद्ध गणित है और दुनिया में हर जगह एक समान काम करता है।

इसका उपयोग कैसे करें

चार गुणांक a, b, c और d दर्ज करें। प्रमुख गुणांक a का शून्य न होना ज़रूरी है (वरना समीकरण घन रह ही नहीं जाता)। तय करें कि कितने सार्थक अंक दिखाने हैं, फिर तीनों मूल, विविक्तकर और मूलों का वर्गीकरण देखें।

सूत्र की व्याख्या

सबसे पहले हम पूरे समीकरण को a से भाग देकर सामान्य रूप में लाते हैं, जिससे \(x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\) मिलता है। प्रतिस्थापन \(x = t - B/3\) से वर्ग वाला पद हट जाता है और एक न्यूनीकृत घन समीकरण \(t^3 + pt + q = 0\) बनता है, जहां $$p = C - \frac{B^2}{3},\quad q = \frac{2B^3}{27} - \frac{BC}{3} + D$$ इसके बाद विविक्तकर $$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$$ हमें बताता है कि कौन-सी स्थिति है। जब \(\Delta > 0\) हो तो एक वास्तविक और दो सम्मिश्र मूल होते हैं (कार्डानो का करणी रूप); जब \(\Delta = 0\) हो तो एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल होता है; और जब \(\Delta < 0\) हो तो तीनों मूल वास्तविक होते हैं, जिसके लिए हम त्रिकोणमितीय रूप \(t_k = m\cdot\cos\!\left(\theta - \frac{2\pi k}{3}\right)\) का उपयोग करते हैं। अंत में हर मूल को \(-B/3\) से वापस खिसका दिया जाता है।

विविक्तकर का चिह्न बताता है कि सभी जड़ें वास्तविक हैं या उनमें एक सम्मिश्र युग्म है।

घन समीकरण की वास्तविक जड़ें वहाँ होती हैं जहाँ इसका वक्र x-अक्ष को काटता है।

हल किया हुआ उदाहरण

\(x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\) के लिए हमें \(p = -\frac{37}{3}\), \(q = 4.07407\) और \(\Delta \approx -65.33 < 0\) मिलता है, यानी तीनों मूल वास्तविक हैं। त्रिकोणमितीय रूप से \(x = 4\), \(x = 1\) और \(x = -3\) प्राप्त होते हैं, जो वाकई \((x-4)(x-1)(x+3)\) के रूप में गुणनखंड बनते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

a का शून्य न होना ज़रूरी क्यों है? यदि \(a = 0\) हो तो सबसे ऊंची घात वाला पद गायब हो जाता है और समीकरण अधिक से अधिक द्विघात रह जाता है, इसलिए कार्डानो विधि लागू नहीं होती।

विविक्तकर का क्या मतलब है? इसका चिह्न मूलों को वर्गीकृत करता है: धनात्मक होने पर एक वास्तविक और दो सम्मिश्र मूल, शून्य होने पर एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल, और ऋणात्मक होने पर तीन अलग-अलग वास्तविक मूल मिलते हैं।

सम्मिश्र मूल कैसे दिखाए जाते हैं? जब ये मौजूद हों तो एक संयुग्मी जोड़ी \(re + im\cdot i\) और \(re - im\cdot i\) के रूप में दिखते हैं; पूरी तरह वास्तविक मूलों का काल्पनिक भाग शून्य होता है।