रैडिकल समीकरण क्या होता है?
रैडिकल समीकरण वह होता है जिसमें कोई चर (variable) वर्गमूल के अंदर मौजूद रहता है। यह सॉल्वर \(\sqrt{ax + b} = c\) रूप के समीकरणों को हल करता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं। यह पहले रैडिकल को अलग करता है, दोनों पक्षों का वर्ग करता है, और बनने वाले रैखिक समीकरण को x के लिए हल करता है — साथ ही यह भी जाँचता है कि कोई वास्तविक हल वाकई मौजूद है या नहीं।
इसका उपयोग कैसे करें
गुणांक a दर्ज करें (जो मूल के अंदर x से गुणा होता है), अचर b दर्ज करें (जो मूल के अंदर जोड़ा जाता है), और c दर्ज करें (बराबर के चिह्न के दाईं ओर का मान)। गणना (calculate) बटन दबाएँ और आपको x के साथ-साथ चरण-दर-चरण हल भी मिल जाएगा। यदि c ऋणात्मक है या a शून्य है, तो टूल बता देगा कि कोई वास्तविक हल मौजूद नहीं है।
सूत्र की व्याख्या
\(\sqrt{ax + b} = c\) से शुरू करते हुए, रैडिकल हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें: \(ax + b = c^{2}\)। अब b घटाएँ और a से भाग दें, जिससे मिलता है
$$x = \frac{c^{2} - b}{a}$$चूँकि वर्गमूल फलन हमेशा अऋणात्मक (non-negative) मान ही लौटाता है, इसलिए मूल समीकरण केवल तभी सही हो सकता है जब \(c \geq 0\) हो। यदि c ऋणात्मक है तो ऐसा कोई वास्तविक x नहीं होगा जो इसे संतुष्ट करे। साथ ही गुणांक a का शून्य न होना भी आवश्यक है, वरना समीकरण से x ही गायब हो जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(\sqrt{2x + 1} = 3\) को हल करें। यहाँ \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = 3\) है। दोनों पक्षों का वर्ग करें: \(2x + 1 = 9\)। फिर \(2x = 8\), यानी \(x = 4\)। जाँच करें:
$$\sqrt{2\cdot 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$✓
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
ऋणात्मक c पर कोई हल क्यों नहीं मिलता? प्रधान वर्गमूल (principal square root) हमेशा \(\geq 0\) होता है, इसलिए वह कभी किसी ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।
अगर a = 0 हो तो क्या होगा? तब समीकरण में हल करने के लिए कोई x पद ही नहीं बचता, इसलिए टूल कोई हल नहीं देता।
क्या मुझे हमेशा अपना उत्तर जाँचना चाहिए? हाँ। वर्ग करने से कभी-कभी अतिरिक्त (extraneous) मूल आ जाते हैं, इसलिए x को वापस मूल समीकरण में रखकर उसकी पुष्टि अवश्य करें।
