यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह 3D दूरी कैलकुलेटर त्रि-आयामी कार्तीय (Cartesian) स्पेस में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा वाली (यूक्लिडियन) दूरी निकालता है। बस दोनों बिंदुओं के X, Y और Z निर्देशांक भरिए और टूल आपको दूरी बता देगा — छह दशमलव स्थानों तक, और बीच के सभी चरण भी दिखाते हुए। ये मान केवल इकाई-रहित निर्देशांक होते हैं, इसलिए निकलने वाली दूरी उसी इकाई में होगी जो आप इनपुट के लिए मानेंगे (मीटर, फुट, पिक्सेल आदि)।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
पहले बिंदु के निर्देशांक X1, Y1, Z1 खानों में और दूसरे बिंदु के X2, Y2, Z2 खानों में टाइप कीजिए। छहों मान धनात्मक, ऋणात्मक, पूर्णांक या दशमलव — कुछ भी हो सकते हैं। "Calculate" दबाइए और हाइलाइट किए गए नतीजे वाले बॉक्स में दूरी पढ़िए। दोनों बिंदुओं का क्रम मायने नहीं रखता, क्योंकि हर अंतर का वर्ग किया जाता है।
फॉर्मूला समझिए
3D दूरी का फॉर्मूला पाइथागोरस प्रमेय को तीन अक्षों तक बढ़ा देता है:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
हर अक्ष पर अंतर निकालिए, हर अंतर का वर्ग कीजिए (इससे ऋण चिन्ह हट जाता है), तीनों वर्गों को जोड़िए, और उस योग का वर्गमूल ले लीजिए। दूरी हमेशा शून्य या धनात्मक होती है, और शून्य तभी होती है जब दोनों बिंदु एक ही जगह पर हों। अगर इसके बजाय 2D दूरी चाहिए, तो दोनों Z मान बराबर रख दीजिए (जैसे दोनों को 0)।
हल किया हुआ उदाहरण
बिंदु (7, 4, 3) और (17, 6, 2) के लिए: अंतर हैं 10, 2 और -1। इनके वर्ग हैं 100, 4 और 1, जिनका योग 105 है। तो दूरी $$d = \sqrt{105} = 10.246951$$ एक दूसरा उदाहरण, (5, 6, 2) और (-7, 11, -13): अंतर -12, 5, -15; वर्ग 144, 25, 225; योग 394; इसलिए $$d = \sqrt{394} = 19.849433$$
परिभाषाएं और शब्दावली
नीचे दिए गए शब्द त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच सीधी-रेखा दूरी की गणना करते समय उपयोग की जाने वाली अवधारणाओं और चर का वर्णन करते हैं।
- यूक्लिडियन दूरी — दो बिंदुओं के बीच सीधी-रेखा (सबसे छोटी) दूरी, जिसे अक्षों या घुमावदार पथ के साथ नहीं बल्कि अंतरिक्ष में "कौए की उड़ान" के रूप में मापा जाता है। 3D में इसे \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\) द्वारा दिया जाता है।
- कार्टेशियन निर्देशांक — एक प्रणाली जो तीन परस्पर लंबवत अक्षों (X, Y, Z) से हस्ताक्षरित दूरी का उपयोग करके एक बिंदु का पता लगाती है जो मूल बिंदु \((0,0,0)\) पर मिलते हैं। एक बिंदु को एक क्रमित त्रिक \((x, y, z)\) के रूप में लिखा जाता है।
- \(x_1, y_1, z_1\) — पहले बिंदु के X, Y, और Z निर्देशांक, \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\)।
- \(x_2, y_2, z_2\) — दूसरे बिंदु के X, Y, और Z निर्देशांक, \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\)।
- डेल्टा (\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)) — दोनों बिंदुओं के बीच प्रत्येक निर्देशांक में परिवर्तन, या अंतर: \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\), और \(\Delta z = z_2 - z_1\)। चूंकि प्रत्येक डेल्टा वर्ग किया जाता है, घटाव का क्रम (और इसलिए संकेत) अंतिम दूरी को प्रभावित नहीं करता है।
- अंतरिक्ष विकर्ण — एक आयताकार डिब्बे (घनाभ) के माध्यम से सबसे लंबी सीधी रेखा, विपरीत कोनों के बीच चलती है। यदि एक डिब्बे के किनारे की लंबाई \(\Delta x\), \(\Delta y\), और \(\Delta z\) है, तो इसका अंतरिक्ष विकर्ण 3D दूरी \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) के बराबर है — बिल्कुल वह मान जो यह कैलकुलेटर लौटाता है।
- पाइथागोरस प्रमेय से संबंध — 3D दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय को दो बार लागू किया जाता है। सबसे पहले, X-Y आधार तल के पार विकर्ण \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\) है। उस विकर्ण और ऊर्ध्वाधर ऑफ़सेट \(\Delta z\) को एक दूसरे समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं के रूप में मानते हुए \(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) देता है। 3D दूरी सदिश \(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\) का परिमाण भी है।
विभिन्न बिंदु युग्मों के बीच दूरी
नीचे दी गई तालिका सूत्र \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) के माध्यम से कई प्रतिनिधि बिंदु युग्मों को काम करती है। प्रत्येक पंक्ति प्रति-अक्ष अंतर, उनके वर्गों का योग, और परिणामी दूरी को सूचीबद्ध करती है। ध्यान दें कि संपाती बिंदु शून्य की दूरी देते हैं, और नकारात्मक निर्देशांक अभी भी सकारात्मक दूरी का उत्पादन करते हैं क्योंकि प्रत्येक डेल्टा वर्ग किया जाता है।
| परिदृश्य | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | वर्गों का योग | दूरी \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| अक्ष-संरेखित (केवल X) | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| अक्ष-संरेखित (केवल Z) | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| इकाई घन विकर्ण | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
| स्वच्छ पाइथागोरस ट्रिपल | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| सामान्य विकर्ण | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| नकारात्मक के साथ | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| संपाती बिंदु | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
"सामान्य विकर्ण" पंक्ति के लिए, पूर्ण प्रतिस्थापन \(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या बिंदुओं का क्रम बदलने से नतीजा बदलता है? नहीं। चूँकि हर निर्देशांक के अंतर का वर्ग किया जाता है, इसलिए दोनों बिंदुओं को आपस में बदलने पर भी वही दूरी आती है।
जवाब किस इकाई में होता है? नतीजा उसी इकाई में होता है जो आपने निर्देशांकों के लिए इस्तेमाल की थी; कैलकुलेटर कोई इकाई रूपांतरण नहीं करता।
क्या मैं ऋणात्मक निर्देशांक इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। छहों मानों के लिए ऋणात्मक पूर्णांक और दशमलव दोनों पूरी तरह समर्थित हैं।
