這個計算器的功用
三維兩點距離計算器可以求出三維笛卡兒座標空間中任意兩點之間的直線（歐幾里得）距離。只要輸入兩個點各自的 X、Y、Z 座標，本工具就會算出距離（精確到小數點後六位），並一併列出中間運算步驟。由於這些座標值本身不帶單位，因此最終得到的距離會沿用您為輸入值設定的單位（公尺、英尺、像素等）。
使用方法
將第一個點的座標填入 X1、Y1、Z1 欄位，第二個點的座標填入 X2、Y2、Z2 欄位。這六個數值可以是正數、負數、整數或小數皆可。按下計算後，即可在標示出來的結果框中讀取距離。由於每個座標差都會經過平方運算，因此兩點的先後順序並不影響結果。
公式說明
三維距離公式是將畢氏定理延伸到三個座標軸：
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
先求出每個座標軸上的差值，再將各差值平方（平方後正負號自然消失），把三個平方值相加，最後對總和開平方根。距離一定大於或等於零，唯有當兩點完全重合時才會等於零。如果想改算二維距離，只要把兩個 Z 值設成相同（例如都填 0）即可。
實例演算
以 (7, 4, 3) 與 (17, 6, 2) 兩點為例：各軸差值為 10、2、−1；平方後得到 100、4、1，相加總和為 105，因此距離為 \(\sqrt{105} = 10.246951\)。再看第二個例子，(5, 6, 2) 與 (−7, 11, −13) 的差值為 −12、5、−15，平方後為 144、25、225，總和 394，所以 \(d = \sqrt{394} = 19.849433\)。
定義與術語表
下列術語說明在三維空間中計算兩點之間直線距離時使用的概念和變數。
- 歐幾里得距離 — 兩點之間的直線（最短）距離，以「飛鳥直線」的方式測量，通過空間而非沿著軸或曲線路徑。在 3D 中，它由 \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\) 給出。
- 笛卡爾坐標系 — 一個系統，使用三個互相垂直的軸（X、Y、Z）從原點 \((0,0,0)\) 的有向距離來定位一個點。一個點寫成有序三元組 \((x, y, z)\)。
- \(x_1, y_1, z_1\) — 第一個點 \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\) 的 X、Y 和 Z 坐標。
- \(x_2, y_2, z_2\) — 第二個點 \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\) 的 X、Y 和 Z 坐標。
- Delta（\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)） — 兩點之間每個坐標的變化或差異：\(\Delta x = x_2 - x_1\)、\(\Delta y = y_2 - y_1\) 和 \(\Delta z = z_2 - z_1\)。因為每個 delta 都是平方，減法的順序（因此符號）不會影響最終距離。
- 空間對角線 — 穿過矩形盒子（立方體）的最長直線，在相對角之間運行。如果一個盒子的邊長為 \(\Delta x\)、\(\Delta y\) 和 \(\Delta z\)，其空間對角線等於 3D 距離 \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) — 正好是此計算器返回的值。
- 與勾股定理的關係 — 3D 距離公式是勾股定理應用兩次。首先，X-Y 底面的對角線是 \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)。將該對角線和垂直位移 \(\Delta z\) 視為第二個直角三角形的兩條直角邊，得到 \(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\)。3D 距離也是向量 \(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\) 的大小。
不同點對之間的距離
下表通過公式 \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) 計算若干代表性點對。每一行列出各軸的差異、其平方和以及所得的距離。注意重合點產生零距離，負坐標仍然產生正距離，因為每個 delta 都是平方。
| 情形 | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | 平方和 | 距離 \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 軸對齐（僅 X） | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| 軸對齐（僅 Z） | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| 單位立方體對角線 | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
| 清晰勾股三元組 | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| 一般對角線 | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| 含有負數 | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| 重合點 | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
對於「一般對角線」行，完整替換為 \(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\)。
常見問題
兩點的順序會影響計算結果嗎？不會。因為每個座標差都經過平方運算，所以即使對調兩點，算出的距離也完全相同。
答案的單位是什麼？結果的單位與您輸入座標時所用的單位一致；本計算器不會進行任何單位換算。
可以使用負數座標嗎？可以。六個數值都完整支援負整數與負小數。
