三維空間兩直線距離計算機｜最短距離與位置關係判斷

位置關係	Lines are skew

這個計算機能做什麼

這個工具用來計算三維空間中兩條直線之間的最短（最小）距離。每一條直線都用一個通過點 P = (a, b, c) 與一個平行於它的方向向量 V = (p, q, r) 來描述——正好就是對稱式 $(x-a)/p = (y-b)/q = (z-c)/r$ 所需的資料。它是一個純解析幾何工具，放諸四海皆準，不涉及任何單位或特定國家的規則。

三維空間中兩條歪斜直線及它們之間最短的垂直距離 d — 最短距離 d 是連接兩條直線的垂直線段。

使用方法

先輸入第一條直線通過點 P1 的三個座標，以及方向向量 V1 的三個分量，接著對第二條直線做相同的設定，然後按下計算。結果會顯示兩直線的最短距離，並將兩者的關係判斷為相交、異面（歪斜）、平行或重合。若方向向量為 (0, 0, 0) 則會被拒絕，因為它無法定義一條直線。

公式說明

設 $\vec{W} = \vec{P_2} - \vec{P_1}$ 為連接兩直線上各一點的向量，$\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2}$ 為兩方向向量的外積（向量積）。當兩直線不平行時，最短距離就是純量三重積的絕對值除以 $\vec{N}$ 的長度：

$$d = \frac{\left| \vec{W} \cdot \vec{N} \right|}{\left| \vec{N} \right|}$$

若此值為零，表示兩直線相交；否則它們即為異面直線（永不相交，但也不平行）。當 $\vec{V_1}$ 與 $\vec{V_2}$ 互為純量倍數時，$\vec{N}$ 為零向量，此時計算機會改用點到直線的公式

$$d = \frac{\left| \vec{W} \times \vec{V_1} \right|}{\left| \vec{V_1} \right|}$$

若這裡算出零，則代表兩直線重合。

向量圖：V1 與 V2 外積得到法向量，並將 W 投影到該向量上 — 該距離等於 W 在同時垂直於兩條直線方向上的投影。

實例演算

取 P1 = (−1, 2, 0)、V1 = (2, 3, 1)，以及 P2 = (3, −4, 1)、V2 = (1, 2, 1)。則 $\vec{W} = (4, -6, 1)$，$\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} = (1, -1, 1)$，其長度 $\left| \vec{N} \right| = \sqrt{3} = 1.7320508$。內積 $\vec{W} \cdot \vec{N} = 4 + 6 + 1 = 11$，因此

$$d = \frac{11}{\sqrt{3}} = 6.350853$$

由於 d 不為零，這兩條直線是異面直線。