兩直線夾角計算器

輸入計算

直線 1 的斜率（m₁）

直線 2 的斜率（m₂）

結果

兩直線之間的夾角

45°

兩線之間的銳角夾角

夾角（角度）	45°
夾角（弧度）	0.785398 rad

這個計算器的功能

這個工具只需要兩條直線的斜率，就能算出它們相交時所形成的夾角。輸入直線 1 的斜率（m₁）與直線 2 的斜率（m₂），即可同時得到兩線之間的銳角夾角，並以角度與弧度兩種形式呈現。它適用於任何實數斜率，並會自動判別兩線是否互相垂直。

使用方法

1. 先求出每條直線的斜率。若直線寫成 \(y = mx + b\) 的形式，斜率就是 \(m\)；若已知兩個點，斜率 \(= (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)\)。 2. 將 \(m_1\) 與 \(m_2\) 分別填入欄位。 3. 讀取結果。計算器一律回傳兩線之間的銳角（0° 至 90°）。

公式說明

兩直線之間的夾角 \(\theta\) 由

$$\theta = \arctan\left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$$

求得。分子代表兩斜率的差異程度，分母則反映兩線的傾斜關係。當 \(1 + m_1 \cdot m_2 = 0\) 時，這個算式無定義，代表兩線恰好互相垂直——此時夾角為 90°。式中的絕對值可確保算出的是銳角，而非與它互補的鈍角。

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兩條直線間的銳角 \(\theta\) 可由它們的斜率求出。

範例演算

假設直線 1 的斜率 \(m_1 = 1\)，直線 2 的斜率 \(m_2 = 0\)（為一條水平線）。則

$$\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$

因此 \(\theta = \arctan(1) = 45°\)。斜率為 1 的直線，與水平軸之間的夾角確實是 45°。

常見問題

如果兩線互相平行怎麼辦？ 當 \(m_1 = m_2\) 時，分子為 0，所以 \(\theta = 0°\)。平行線之間並沒有夾角。

遇到垂直線（鉛直線）該如何處理？ 垂直線的斜率無定義，因此這個以斜率為基礎的公式無法直接套用。此時可改用每條直線與 x 軸所成的角度來計算。

為什麼答案永遠是銳角？ 兩條相交的直線會形成兩組相等的角，且總和為 180°。公式中的絕對值會挑出較小的那一組（即銳角），這也是一般所說兩線之間「夾角」的慣用定義。