這個計算機可以做什麼
「兩向量夾角計算機」可以求出二維或三維空間中兩個向量之間的夾角。只要輸入每個向量的 X、Y 以及（選填的）Z 分量，工具就會同時以角度與弧度回傳夾角，並附上內積、各向量的長度（大小），以及夾角的餘弦值。它適用於空間中任何方向，在物理、工程、電腦繪圖與線性代數等領域都被廣泛使用。
使用方法
在第一列輸入向量 A 的分量，第二列輸入向量 B 的分量。如果是二維向量，只要把 Z 欄留空或填入 0 即可。按下計算後就會顯示夾角。由於是對內積比值取反餘弦（arccos），結果一定為非負值，因此夾角永遠落在 0° 到 180° 之間。
公式說明
兩向量的內積等於它們長度的乘積再乘以夾角的餘弦：\(a\cdot b = |a||b|\cos\theta\)。將公式移項即可得到 \(\theta = \arccos\left(\frac{a\cdot b}{|a||b|}\right)\)。內積的算法為 \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)，而每個向量的長度則是各分量平方和的平方根。如果任一向量的長度為零，夾角就無法定義，因此本計算機會特別防範除以零的情況。
$$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}\right)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \vec{A}\cdot\vec{B} &= \text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z \\ \lVert\vec{A}\rVert &= \sqrt{\text{A}_x^{2} + \text{A}_y^{2} + \text{A}_z^{2}} \\ \lVert\vec{B}\rVert &= \sqrt{\text{B}_x^{2} + \text{B}_y^{2} + \text{B}_z^{2}} \end{aligned} \right.$$
實例演算
假設 A = (1, 0, 0)、B = (1, 1, 0)。內積為 \(1\times 1 + 0\times 1 + 0\times 0 = 1\)。兩向量的長度分別為 \(|A| = 1\) 與 \(|B| = \sqrt{2} \approx 1.4142\)。因此 \(\cos\theta = 1 / 1.4142 \approx 0.7071\)，得到 $$\theta = \arccos(0.7071) = 45\degree$$（約等於 0.7854 弧度）。
解釋您的結果
此計算機傳回的角度 \(\theta\) 範圍從 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\)（\(0\) 到 \(\pi\) 弧度）。由於大小 \(\lVert\vec{A}\rVert\) 和 \(\lVert\vec{B}\rVert\) 始終為正，因此 餘弦的符號與點積的符號相符。這一個事實可讓您一目瞭然地了解幾何關係：
| 角度 \(\theta\) | \(\cos\theta\) | 點積 \(\vec{A}\cdot\vec{B}\) | 幾何意義 |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(+1\) | 正數（最大值） | 相同方向 — 向量平行 |
| \(0^\circ\)–\(90^\circ\) | 在 \(0\) 和 \(+1\) 之間 | 正數 | 銳角 — 向量指向相同的大致方向 |
| \(90^\circ\) | \(0\) | 零 | 正交（垂直） |
| \(90^\circ\)–\(180^\circ\) | 在 \(-1\) 和 \(0\) 之間 | 負數 | 鈍角 — 向量大致方向相反 |
| \(180^\circ\) | \(-1\) | 負數（最小值） | 相反方向 — 反平行 |
快速閱讀規則：正點積表示銳角，零點積表示直角，負點積表示鈍角。\(\cos\theta\) 越接近 \(\pm 1\)，向量就越接近沿著同一條線。
定義與詞彙表
- 向量
- 既有大小又有方向的量，寫作有序分量列表，例如 \(\vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\)。
- 向量分量（x / y / z）
- 向量在座標軸上的投影。\(A_x\)、\(A_y\) 和 \(A_z\) 分別是向量沿 x、y 和 z 軸延伸的量。對於 2D 向量，設定 \(A_z = 0\)。
- 點積（標量積）
- 由兩個向量形成的單一數字：\(\vec{A}\cdot\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\)。它等於 \(\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\)，因此其符號顯示角度是銳角、直角還是鈍角。
- 大小（範數、長度）
- 向量的長度，\(\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\)。它始終為非負數。
- 餘弦
- 三角比 \(\cos\theta\)，其等於正規化點積 \(\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}\)。它的範圍從 \(-1\)（相反）經過 \(0\)（垂直）到 \(+1\)（相同方向）。
- 反餘弦（反餘弦函數）
- 函數 \(\arccos(x)\) 從其餘弦值恢復角度，傳回 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\)（\(0\) 到 \(\pi\) 弧度）之間的值。
- 正交 / 垂直
- 在 \(90^\circ\) 相交的向量。它們的點積正好為零。
- 平行 / 反平行
- 平行向量指向相同方向（\(\theta = 0^\circ\)、\(\cos\theta = +1\)）；反平行向量指向正好相反的方向（\(\theta = 180^\circ\)、\(\cos\theta = -1\)）。在這兩種情況下，向量都沿著同一條線。
常見問題
可以計算二維向量嗎？可以——只要把 Z 分量留空或填 0 即可。
為什麼夾角不會超過 180°？反餘弦函數的值域為 0 到 180°，這正好是兩個方向之間最小的夾角，與向量的指向無關。
結果是 90° 代表什麼？表示兩向量互相垂直（正交）；只要內積剛好等於零，就會出現這種情況。
