Qué hace esta calculadora
La calculadora del ángulo entre dos vectores determina el ángulo que separa a dos vectores en el plano (2D) o en el espacio (3D). Introduce las componentes X, Y y (si lo necesitas) Z de cada vector y la herramienta te devuelve el ángulo tanto en grados como en radianes, junto con el producto escalar, la magnitud de cada vector y el coseno del ángulo. Funciona para cualquier dirección en el espacio y resulta muy útil en física, ingeniería, gráficos por computadora y álgebra lineal.
Cómo usarla
Escribe las componentes del Vector A en la primera fila y las del Vector B en la segunda. Si trabajas con vectores en 2D, deja vacíos los campos Z o ponlos a 0. Pulsa calcular para ver el ángulo. El resultado siempre está entre 0° y 180°, ya que el arcocoseno del cociente del producto escalar devuelve un ángulo no negativo.
La fórmula explicada
El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo que forman: \(a\cdot b = |a|\,|b|\cos\theta\). Si despejamos, obtenemos \(\theta = \arccos\left(\frac{a\cdot b}{|a|\,|b|}\right)\). El producto escalar se calcula como \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\), y cada magnitud es la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado. Si alguno de los vectores tiene longitud cero, el ángulo no está definido, por eso la calculadora evita la división entre cero.
$$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}\right)$$
$$\begin{aligned} \vec{A}\cdot\vec{B} &= \text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z \\ \lVert\vec{A}\rVert &= \sqrt{\text{A}_x^{2} + \text{A}_y^{2} + \text{A}_z^{2}} \\ \lVert\vec{B}\rVert &= \sqrt{\text{B}_x^{2} + \text{B}_y^{2} + \text{B}_z^{2}} \end{aligned}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos A = (1, 0, 0) y B = (1, 1, 0). El producto escalar es \(1\times 1 + 0\times 1 + 0\times 0 = 1\). Las magnitudes son \(|A| = 1\) y \(|B| = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Por tanto, $$\cos\theta = \frac{1}{1{,}4142} \approx 0{,}7071,$$ y \(\theta = \arccos(0{,}7071) = 45° \) (unos 0,7854 radianes).
Interpretación de su resultado
El ángulo \(\theta\) devuelto por esta calculadora varía de \(0^\circ\) a \(180^\circ\) (\(0\) a \(\pi\) radianes). Debido a que las magnitudes \(\lVert\vec{A}\rVert\) y \(\lVert\vec{B}\rVert\) siempre son positivas, el signo del coseno coincide con el signo del producto punto. Este único hecho le permite conocer la relación geométrica de un vistazo:
| Ángulo \(\theta\) | \(\cos\theta\) | Producto punto \(\vec{A}\cdot\vec{B}\) | Significado geométrico |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(+1\) | Positivo (máximo) | Misma dirección — los vectores son paralelos |
| \(0^\circ\)–\(90^\circ\) | Entre \(0\) y \(+1\) | Positivo | Ángulo agudo — los vectores apuntan en la misma dirección general |
| \(90^\circ\) | \(0\) | Cero | Ortogonal (perpendicular) |
| \(90^\circ\)–\(180^\circ\) | Entre \(-1\) y \(0\) | Negativo | Ángulo obtuso — los vectores se oponen en dirección general |
| \(180^\circ\) | \(-1\) | Negativo (mínimo) | Dirección opuesta — antiparalelos |
Regla de lectura rápida: un producto punto positivo significa un ángulo agudo, un producto punto cero significa un ángulo recto, y un producto punto negativo significa un ángulo obtuso. Cuanto más cercano esté \(\cos\theta\) a \(\pm 1\), más cerca estarán los vectores de encontrarse sobre la misma línea.
Definiciones y Glosario
- Vector
- Una cantidad con magnitud y dirección, escrita como una lista ordenada de componentes como \(\vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\).
- Componente de vector (x / y / z)
- La proyección de un vector sobre un eje de coordenadas. \(A_x\), \(A_y\) y \(A_z\) son las cantidades que el vector se extiende a lo largo de los ejes x, y y z respectivamente. Para un vector 2D, establezca \(A_z = 0\).
- Producto punto (producto escalar)
- Un número único formado a partir de dos vectores: \(\vec{A}\cdot\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\). Es igual a \(\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\), por lo que su signo revela si el ángulo es agudo, recto u obtuso.
- Magnitud (norma, longitud)
- La longitud de un vector, \(\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\). Siempre es no negativa.
- Coseno
- La razón trigonométrica \(\cos\theta\) que aquí es igual al producto punto normalizado \(\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}\). Varía de \(-1\) (opuesto) pasando por \(0\) (perpendicular) a \(+1\) (misma dirección).
- Arccos (coseno inverso)
- La función \(\arccos(x)\) que recupera el ángulo a partir de su coseno, devolviendo un valor entre \(0^\circ\) y \(180^\circ\) (\(0\) a \(\pi\) radianes).
- Ortogonal / perpendicular
- Vectores que se encuentran a \(90^\circ\). Su producto punto es exactamente cero.
- Paralelo / antiparalelo
- Los vectores paralelos apuntan en la misma dirección (\(\theta = 0^\circ\), \(\cos\theta = +1\)); los vectores antiparalelos apuntan en direcciones exactamente opuestas (\(\theta = 180^\circ\), \(\cos\theta = -1\)). En ambos casos, los vectores se encuentran sobre la misma línea.
Preguntas frecuentes
¿Sirve para vectores en 2D? Sí: solo tienes que dejar las componentes Z vacías o en 0.
¿Por qué el ángulo nunca supera los 180°? El arcocoseno devuelve valores entre 0 y 180°, que corresponden al menor ángulo entre las dos direcciones, independientemente de su orientación.
¿Qué significa un resultado de 90°? Que los vectores son perpendiculares (ortogonales), algo que ocurre siempre que el producto escalar es exactamente cero.
