ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب حاسبة الزاوية بين متجهين مقدار الزاوية التي تفصل بين متجهين في بُعدين أو ثلاثة أبعاد. أدخل المركبات X وY و(اختياريًا) Z لكل متجه، فتعيد الأداة الزاوية بالدرجات والراديان معًا، إلى جانب الضرب القياسي، ومقدار كل متجه، وجيب تمام الزاوية. تعمل الحاسبة مع أي اتجاه في الفضاء، وتُستخدم على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة ورسوم الحاسوب والجبر الخطي.
طريقة الاستخدام
اكتب مركبات المتجه A في الصف الأول ومركبات المتجه B في الصف الثاني. أما المتجهات الثنائية الأبعاد فاترك حقول Z فارغة أو اضبطها على 0. اضغط على زر الحساب لمعرفة الزاوية. تقع النتيجة دائمًا بين 0° و180° لأن جيب التمام العكسي لنسبة الضرب القياسي يعيد زاوية غير سالبة.
شرح المعادلة
يساوي الضرب القياسي لمتجهين حاصل ضرب مقداريهما في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert\cos\theta\). وبإعادة ترتيب المعادلة نحصل على $$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert}\right)$$ يُحسب الضرب القياسي على النحو التالي: \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)، أما مقدار كل متجه فهو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. وإذا كان طول أحد المتجهين صفرًا تصبح الزاوية غير معرّفة، لذا تحتاط الحاسبة من القسمة على صفر.
مثال محلول
لنأخذ A = (1, 0, 0) وB = (1, 1, 0). يكون الضرب القياسي \(1\times1 + 0\times1 + 0\times0 = 1\). والمقداران هما \(\lVert\vec{A}\rVert = 1\) و\(\lVert\vec{B}\rVert = \sqrt{2} \approx 1.4142\). وبذلك \(\cos\theta = 1 / 1.4142 \approx 0.7071\)، ومنه $$\theta = \arccos(0.7071) = 45° \;(\approx 0.7854\ \text{راديان})$$
تفسير نتيجتك
الزاوية \(\theta\) التي يُرجعها هذا الحاسبة تتراوح بين \(0^\circ\) و\(180^\circ\) (\(0\) إلى \(\pi\) راديان). لأن المقادير \(\lVert\vec{A}\rVert\) و\(\lVert\vec{B}\rVert\) دائماً موجبة، فإن إشارة جيب التمام تطابق إشارة الضرب النقطي. تلك الحقيقة الوحيدة تخبرك بالعلاقة الهندسية في لمحة:
| الزاوية \(\theta\) | \(\cos\theta\) | الضرب النقطي \(\vec{A}\cdot\vec{B}\) | المعنى الهندسي |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(+1\) | موجب (الحد الأقصى) | نفس الاتجاه — المتجهات متوازية |
| \(0^\circ\)–\(90^\circ\) | بين \(0\) و\(+1\) | موجب | زاوية حادة — المتجهات تشير بنفس الاتجاه العام |
| \(90^\circ\) | \(0\) | صفر | متعامدة (عمودية) |
| \(90^\circ\)–\(180^\circ\) | بين \(-1\) و\(0\) | سالب | زاوية منفرجة — المتجهات تتعارض في الاتجاه العام |
| \(180^\circ\) | \(-1\) | سالب (الحد الأدنى) | اتجاه معاكس — متوازية معاكسة |
قاعدة القراءة السريعة: الضرب النقطي الموجب يعني زاوية حادة، والضرب النقطي الصفر يعني زاوية قائمة، والضرب النقطي السالب يعني زاوية منفرجة. كلما اقتربت \(\cos\theta\) من \(\pm 1\)، كلما اقتربت المتجهات من الاستقامة على نفس الخط.
التعريفات والمعجم
- متجه
- كمية لها مقدار واتجاه، مكتوبة كقائمة مرتبة من المكونات مثل \(\vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\).
- مكون المتجه (x / y / z)
- الإسقاط العمودي لمتجه على محور إحداثي. \(A_x\) و\(A_y\) و\(A_z\) هي المقادير التي يمتد بها المتجه على طول محاور x و y و z على التوالي. بالنسبة لمتجه ثنائي الأبعاد، عيّن \(A_z = 0\).
- الضرب النقطي (الضرب العددي)
- رقم واحد يتكون من متجهين: \(\vec{A}\cdot\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\). وهو يساوي \(\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\)، لذا فإن إشارته تكشف عما إذا كانت الزاوية حادة أو قائمة أو منفرجة.
- المقدار (القاعدة، الطول)
- طول متجه، \(\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\). وهو دائماً غير سالب.
- جيب التمام
- النسبة المثلثية \(\cos\theta\) التي تساوي هنا الضرب النقطي المُطبّع \(\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}\). وهي تتراوح من \(-1\) (معاكس) عبر \(0\) (عمودي) إلى \(+1\) (نفس الاتجاه).
- أركوس (جيب التمام العكسي)
- الدالة \(\arccos(x)\) التي تستعيد الزاوية من جيب تمامها، وترجع قيمة بين \(0^\circ\) و\(180^\circ\) (\(0\) إلى \(\pi\) راديان).
- متعامد / عمودي
- متجهات تلتقي عند \(90^\circ\). ضربها النقطي يساوي صفراً تماماً.
- متوازي / معاكس متوازي
- المتجهات المتوازية تشير في نفس الاتجاه (\(\theta = 0^\circ\)، \(\cos\theta = +1\))؛ والمتجهات المعاكسة متوازية تشير في الاتجاهات المعاكسة تماماً (\(\theta = 180^\circ\)، \(\cos\theta = -1\)). في كلا الحالتين تستقر المتجهات على نفس الخط.
الأسئلة الشائعة
هل تتعامل مع المتجهات الثنائية الأبعاد؟ نعم — يكفي ترك مركبات Z فارغة أو اضبطها على 0.
لماذا لا تتجاوز الزاوية 180° أبدًا؟ لأن جيب التمام العكسي يعيد قيمًا تتراوح بين 0 و180°، وهي أصغر زاوية بين الاتجاهين بغض النظر عن توجّههما.
ماذا تعني نتيجة 90°؟ أن المتجهين متعامدان، وهو ما يحدث كلما كان الضرب القياسي مساويًا للصفر تمامًا.
