ما هي الزاوية بين خطين مستقيمين؟
عندما يتقاطع خطان مستقيمان، فإنهما يكوّنان زوجين من الزوايا: زاوية حادة وزاوية منفرجة مكمّلة لها. تحسب هذه الأداة زاوية التقاطع مباشرةً انطلاقًا من ميلَي الخطين، \(m_1\) و\(m_2\)، دون الحاجة إلى رسمهما بيانيًا. وهي أداة أساسية في الهندسة الإحداثية وحساب المثلثات والمساحة ورسوميات الحاسوب.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ميل الخط الأول (\(m_1\)) وميل الخط الثاني (\(m_2\)). الميل هو نسبة "الارتفاع إلى الأفقي" لكل خط؛ ففي معادلة الخط \(y = mx + b\) يمثّل الحرف \(m\) الميل. اضغط على زر الحساب لتظهر لك الزاوية الحادة بالدرجات، إضافةً إلى الزاوية المنفرجة المكمّلة لها.
شرح الصيغة الرياضية
تُحسب الزاوية \(\theta\) بين خطين مستقيمين باستخدام الصيغة التالية:
$$\theta = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\right) \times \frac{180}{\pi}$$تضمن القيمة المطلقة أن يكون الظل غير سالب، وهو ما يعطينا الزاوية الحادة. وبما أن ناتج دالة \(\arctan\) يكون بالراديان، فإننا نضربه في \(\frac{180}{\pi}\) لتحويله إلى درجات. وهناك حالة خاصة تظهر عندما يكون \(1 + m_1 m_2 = 0\): حينها يصبح المقام صفرًا، ويكون الخطان متعامدين، وتساوي الزاوية \(90^\circ\) بالضبط. وتتعامل هذه الحاسبة مع هذه الحالة تلقائيًا.
مثال محلول
لنفترض أن ميل الخط الأول \(m_1 = 1\) وميل الخط الثاني \(m_2 = 0\) (أي خط أفقي). عندئذٍ يكون $$\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.$$ وبالتالي \(\theta = \arctan(1) = 45^\circ\). أما الزاوية المنفرجة فهي \(180 - 45 = 135^\circ\).
المصطلحات والمتغيرات الرئيسية
- الميل (m)
- انحدار الخط، يُعرّف بأنه نسبة التغير العمودي إلى التغير الأفقي، \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). الحجم الأكبر يعني خطاً أكثر انحداراً؛ الميل الموجب يرتفع من اليسار إلى اليمين بينما الميل السالب ينخفض.
- زاوية الانحدار
- الزاوية التي يصنعها خط واحد مع المحور الموجب x، تُقاس بعكس اتجاه عقارب الساعة. ترتبط بالميل من خلال \(m = \tan(\alpha)\). الزاوية بين خطين هي الفرق بين زاويتي انحدارهما.
- الزاوية الحادة
- زاوية أقل من \(90^\circ\). القيمة المطلقة في صيغة الظل تنتج دائماً الزاوية الحادة بين خطين متقاطعين.
- الزاوية المنفرجة (الإضافية)
- زاوية بين \(90^\circ\) و \(180^\circ\). يشكل خطان متقاطعان زاوية حادة \(\theta\) وملحقها \(180^\circ - \theta\)؛ معاً يمثلان الزوايا الأربع عند نقطة التقاطع.
- الدالة العكسية للظل (الظل العكسي، tan⁻¹)
- الدالة التي تُرجع الزاوية التي يساوي ظلها قيمة معينة، \(\theta = \tan^{-1}(x)\). نطاقها الرئيسي هو من \(-90^\circ\) إلى \(90^\circ\)، لذا عند تطبيقها على مدخل غير سالب تُعطي زاوية حادة.
- الخطوط العمودية
- خطان يلتقيان بزاوية \(90^\circ\). بالنسبة للخطوط غير الرأسية يحدث هذا عندما \(m_1 m_2 = -1\)، مما يجعل المقام \(1 + m_1 m_2 = 0\) والظل غير معرّف.
- الخطوط المتوازية
- خطان لا يتقاطعان أبداً ولهما ميل متساوٍ، \(m_1 = m_2\). تعطي الصيغة حينها بسطاً يساوي صفر، لذا \(\theta = \tan^{-1}(0) = 0^\circ\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الخطان متوازيين؟ الخطان المتوازيان لهما ميل متساوٍ (\(m_1 = m_2\))، ما يجعل \(\theta = 0^\circ\).
كيف أدخل خطًا رأسيًا؟ الخط الرأسي له ميل غير معرّف، لذا لا يمكن إدخاله مباشرةً. وبدلًا من ذلك يمكنك استخدام قيمة ميل كبيرة جدًا تقريبًا للخط الرأسي، أو إعادة صياغة المسألة.
لماذا تظهر إجابتان؟ يكوّن أي خطين متقاطعين دائمًا زاوية حادة وزاوية منفرجة مجموعهما \(180^\circ\). والزاوية الحادة هي المقصودة عادةً بـ"الزاوية بين" الخطين.
