Что такое угол между двумя прямыми?

Когда две прямые пересекаются, они образуют две пары углов — острый угол и смежный с ним тупой. Этот калькулятор находит угол пересечения напрямую по угловым коэффициентам прямых $m_1$ и $m_2$, без построения графика. Инструмент незаменим в аналитической геометрии, тригонометрии, геодезии и компьютерной графике.

Две пересекающиеся прямые, образующие острый угол тета и смежный с ним тупой угол — Две пересекающиеся прямые образуют пару углов: острый угол θ и смежный с ним тупой.

Как пользоваться калькулятором

Введите угловой коэффициент первой прямой ($m_1$) и угловой коэффициент второй прямой ($m_2$). Угловой коэффициент — это отношение «приращения по вертикали к приращению по горизонтали»: в уравнении прямой $y = mx + b$ именно $m$ задаёт наклон. Нажмите «Рассчитать» — и вы увидите острый угол в градусах, а также смежный с ним тупой угол.

Разбор формулы

Угол θ между двумя прямыми находится по формуле:

$$\theta = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\right) \times \frac{180}{\pi}$$

Модуль гарантирует неотрицательное значение тангенса, что даёт острый угол. Арктангенс возвращает результат в радианах, поэтому мы умножаем его на $\frac{180}{\pi}$ для перевода в градусы. Особый случай возникает при $1 + m_1 m_2 = 0$: знаменатель обращается в ноль, прямые перпендикулярны, а угол равен ровно $90^\circ$. Калькулятор обрабатывает этот случай автоматически.

Две прямые на координатной сетке с угловыми коэффициентами m1 и m2 и углами наклона к оси x — Угловой коэффициент каждой прямой связан с углом наклона; формула объединяет m₁ и m₂, чтобы найти θ.

Пример расчёта

Пусть у первой прямой угловой коэффициент $m_1 = 1$, а у второй $m_2 = 0$ (горизонтальная прямая). Тогда $$\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.$$ Значит, $\theta = \arctan(1) = 45^\circ$. Тупой угол равен $180 - 45 = 135^\circ$.

Частые вопросы

А если прямые параллельны? У параллельных прямых угловые коэффициенты равны ($m_1 = m_2$), поэтому $\theta = 0^\circ$.

Как ввести вертикальную прямую? У вертикальной прямой угловой коэффициент не определён, поэтому ввести его напрямую нельзя. В качестве обходного пути используйте очень большое значение коэффициента или переформулируйте задачу.

Почему два ответа? Две пересекающиеся прямые всегда образуют острый и тупой углы, сумма которых равна $180^\circ$. Острый угол принято считать «углом между» прямыми.

Ключевые термины и переменные

Наклон (m): Крутизна линии, определяемая как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению, $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Большая величина означает более крутую линию; положительный наклон возрастает слева направо, а отрицательный наклон убывает.
Угол наклона: Угол, который одна линия образует с положительной осью x, измеренный против часовой стрелки. Связь с наклоном описывается формулой $m = \tan(\alpha)$. Угол между двумя линиями равен разности их углов наклона.
Острый угол: Угол, который меньше $90^\circ$. Абсолютное значение в формуле тангенса всегда дает острый угол между двумя пересекающимися линиями.
Тупой (дополнительный) угол: Угол между $90^\circ$ и $180^\circ$. Две пересекающиеся линии образуют острый угол $\theta$ и его дополнение $180^\circ - \theta$; вместе они составляют четыре угла в точке пересечения.
Арктангенс (обратный тангенс, tan⁻¹): Функция, которая возвращает угол, тангенс которого равен заданному значению, $\theta = \tan^{-1}(x)$. Её основной диапазон составляет $-90^\circ$ до $90^\circ$, поэтому при применении к неотрицательному входу она дает острый угол.
Перпендикулярные линии: Две линии, пересекающиеся под углом $90^\circ$. Для невертикальных линий это происходит, когда $m_1 m_2 = -1$, что делает знаменатель $1 + m_1 m_2 = 0$ и тангенс неопределенным.
Параллельные линии: Две линии, которые никогда не пересекаются и имеют равные наклоны, $m_1 = m_2$. Формула затем дает числитель, равный 0, поэтому $\theta = \tan^{-1}(0) = 0^\circ$.

Калькулятор угла между двумя прямыми

Введите расчет

Математическая формула

Результатов