Что такое доверительный интервал для биномиальной доли?
Когда вы наблюдаете определённое число успехов (x) из общего числа испытаний (n), выборочная доля \(\hat{p} = x/n\) служит оценкой истинной вероятности успеха. Доверительный интервал задаёт диапазон, который с высокой вероятностью накрывает эту истинную долю. Калькулятор использует интервал Уилсона (Wilson score) — он точнее классического интервала Вальда (нормального приближения), особенно при малых выборках и долях, близких к 0 или 1.
Как пользоваться калькулятором
Укажите число успехов, общее число испытаний и выберите уровень доверия (90%, 95% или 99%). Калькулятор выдаст нижнюю и верхнюю границы интервала в процентах, а также выборочную долю, центр интервала, погрешность (половину ширины интервала) и использованное значение \(z\).
Разбор формулы
Интервал Уилсона смещает оценку к слегка скорректированной доле и при малых выборках сужает её в сторону 0,5:
$$\text{CI} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$Здесь \(z\) — критическое значение стандартного нормального распределения: 1,6449 для 90%, 1,9600 для 95% и 2,5758 для 99%.
Пример расчёта
Допустим, 40 успехов из 100 испытаний при уровне доверия 95%. Тогда \(\hat{p} = 0{,}40\), \(z = 1{,}95996\), \(z^{2} = 3{,}8415\). Знаменатель равен \(1 + 3{,}8415/100 = 1{,}038415\). Центр интервала: $$\frac{0{,}40 + 3{,}8415/200}{1{,}038415} = \frac{0{,}41763}{1{,}038415} = 0{,}40218.$$ Погрешность: $$\frac{1{,}95996\cdot\sqrt{0{,}40\cdot 0{,}60/100 + 3{,}8415/40000}}{1{,}038415} = \frac{1{,}95996\cdot\sqrt{0{,}00249604}}{1{,}038415} = 0{,}09666.$$ Итоговый интервал — примерно от 30,55% до 49,88%.
Частые вопросы
Почему именно Уилсон, а не Вальд? Интервал Вальда может выходить за границы 0 и 1 и недостаточно надёжен при малых \(n\); интервал Уилсона всегда остаётся в пределах [0,1] и обеспечивает лучшее покрытие.
Какой уровень доверия выбрать? Чаще всего используют 95% — это стандартный вариант. Берите 99%, если нужна более высокая уверенность (интервал шире), или 90%, если хотите получить более узкий интервал.
Работает ли метод при доле 0% или 100%? Да — интервал Уилсона даёт разумные, невырожденные границы даже при \(x = 0\) или \(x = n\).
Z-критические значения по уровням доверия
Интервал оценки Уилсона использует двусторонний критический размер \(z\) из стандартного нормального распределения. Для уровня доверия \(C\) значение равно \(z = z_{1-\alpha/2}\), где \(\alpha = 1 - C\), так что центральная площадь равна \(C\) и каждый хвост составляет \(\alpha/2\). Наиболее часто используемые значения приведены ниже.
| Уровень доверия | Площадь хвоста \(\alpha/2\) | Двусторонний \(z\) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.2816 |
| 90% | 0.050 | 1.6449 |
| 95% | 0.025 | 1.9600 |
| 98% | 0.010 | 2.3263 |
| 99% | 0.005 | 2.5758 |
| 99.9% | 0.0005 | 3.2905 |
Это двусторонние значения: один и тот же \(z\) используется для обеих нижней и верхней границ Уилсона. Более высокий уровень доверия соответствует большему \(z\), что расширяет интервал. Этот калькулятор предлагает три наиболее распространённых выбора — 90% (1.6449), 95% (1.9600) и 99% (2.5758).
Интерпретация вашего доверительного интервала
Уровень доверия 95% описывает долгосрочное поведение процедуры, а не вероятность для вашего одного интервала. Если бы вы повторили один и тот же отбор образцов и каждый раз вычисляли интервал Уилсона, примерно 95% этих интервалов содержали бы истинную доля генеральной совокупности \(p\). Для одного интервала, который вы действительно вычислили, истинная \(p\) либо находится в нём, либо нет; 95% — это свойство метода на множестве многих гипотетических образцов, а не шанс того, что этот конкретный интервал захватил \(p\).
Ширина интервала отражает точность. Узкий интервал указывает на то, что оценка чётко определена — обычно это результат большого количества испытаний. Широкий интервал указывает на большую неопределённость, которая часто встречается при малых образцах или долях, близких к 0.5, где биномиальная изменчивость наибольшая. При сравнении двух групп интервал, который намного шире, сигнализирует о том, что его оценку следует рассматривать как менее точную.
Когда граница касается 0 или 1, это означает, что данные соответствуют долям вплоть до 0 (или вверх до 1). Это часто происходит, когда наблюдаемое количество находится на крайнем значении — например, 0 успехов даёт нижнюю границу ровно 0, а все наблюдаемые успехи дают верхнюю границу ровно 1. Противоположная граница по-прежнему несёт информацию: результат \(0/20\) исключает высокие доли, даже если нижняя граница равна 0. Интервал Уилсона построен так, чтобы оставаться в допустимом диапазоне \([0, 1]\), поэтому такие касающиеся границы — это ожидаемое поведение, а не ошибка.
Это общая статистическая информация и не является профессиональным советом для какого-либо конкретного анализа.
