Калькулятор 95% доверительного интервала для среднего

Выборочное среднее (x̄)	100
Стандартная ошибка (s/√n)	2,738613
Предельная ошибка (1,96 × SE)	5,3677
Нижняя граница	94,6323
Верхняя граница	105,3677

Что такое 95% доверительный интервал?

95% доверительный интервал — это диапазон значений, рассчитанный по выборочным данным, который с большой вероятностью содержит истинное среднее всей совокупности (генеральной совокупности). Формулировка «доверие 95%» означает следующее: если многократно повторять процедуру отбора выборок, то примерно в 95% случаев построенные интервалы будут накрывать настоящее среднее. Это один из самых распространённых статистических показателей в науке, социологических опросах, медицине и бизнес-аналитике.

Колоколообразная кривая с закрашенной центральной 95-процентной областью и двумя хвостами — 95-процентный доверительный интервал соответствует центральной 95-процентной области выборочного распределения, оставляя по 2,5 % в каждом хвосте.

Как пользоваться калькулятором

Введите три значения: выборочное среднее ($\bar{x}$), стандартное отклонение выборки ($s$) и объём выборки ($n$). Калькулятор покажет нижнюю и верхнюю границы интервала, а также стандартную ошибку и предельную ошибку, чтобы вы видели, из чего именно складывается результат.

Разбор формулы

Интервал вычисляется по формуле $$CI = \bar{x} \pm 1{,}96 \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ Выражение $s / \sqrt{n}$ — это стандартная ошибка среднего: чем больше выборка, тем меньше эта величина и тем точнее оценка. Множитель 1,96 — это z-значение, которое охватывает центральные 95% стандартного нормального распределения. Умножив стандартную ошибку на 1,96, мы получаем предельную ошибку, которую затем прибавляют к среднему и вычитают из него.

Числовая прямая с выборочным средним в центре и стрелками предельной ошибки, протянутыми к нижней и верхней границам — Интервал простирается на одну предельную ошибку ($1{,}96 \times s/\sqrt{n}$) по обе стороны от выборочного среднего $\bar{x}$.

Пример расчёта

Допустим, выборочное среднее равно 100, стандартное отклонение — 15, а число наблюдений — 36. Стандартная ошибка составит $$\frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2{,}5$$ Предельная ошибка равна $$1{,}96 \times 2{,}5 = 4{,}9$$ Следовательно, 95% доверительный интервал — это $100 \pm 4{,}9$, то есть от 95,1 до 104,9.

Частые вопросы

Почему 1,96, а не 2? Значение 1,96 — это точное z-значение для 95% доверия в нормальном распределении. Округлённое до 2 — это лишь быстрая прикидка.

Что использовать — z или t-распределение? z-значение (1,96) подходит для больших выборок или когда стандартное отклонение генеральной совокупности известно. Для малых выборок ($n < 30$) с неизвестным стандартным отклонением совокупности точнее работает t-распределение — оно даёт чуть более широкий, но более корректный интервал.

Что означает более широкий интервал? Широкий интервал говорит о большей неопределённости — обычно из-за малого объёма выборки или большого разброса данных. Большие выборки дают более узкие и точные интервалы.

Z-баллы для распространённых уровней доверия

Доверительный интервал для среднего значения использует критическое значение (z-балл), полученное из стандартного нормального распределения. Для двустороннего интервала выбранный уровень доверия оставляет объединённую площадь хвостов $\alpha = 1 - \text{УД}$, равномерно разделённую между каждым хвостом ($\alpha/2$). Интервал 95% — это тот, который вычисляет этот калькулятор — использует знакомое значение $z = 1.960$, которое оставляет 2,5% в каждом хвосте.

Уровень доверия	Двусторонний z-балл	Общая площадь хвостов ($\alpha$)	Площадь в каждом хвосте ($\alpha/2$)
80%	1.282	0.20	0.100
90%	1.645	0.10	0.050
95%	1.960	0.05	0.025
98%	2.326	0.02	0.010
99%	2.576	0.01	0.005

Эти z-баллы предполагают, что стандартное отклонение совокупности известно или выборка достаточно большая, чтобы нормальное приближение было справедливым. Для малых выборок с оценённым стандартным отклонением критическое значение t-распределения (которое больше) является более подходящим.