Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance à 95 % ?
Un intervalle de confiance à 95 % est une plage de valeurs, calculée à partir des données d'un échantillon, qui a de fortes chances de contenir la véritable moyenne de la population. La « confiance à 95 % » signifie que, si l'on répétait le même procédé d'échantillonnage un grand nombre de fois, environ 95 % des intervalles ainsi construits engloberaient la vraie moyenne. C'est l'une des statistiques les plus fréquemment rapportées en sciences, dans les sondages, en médecine et dans l'analyse de données en entreprise.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez trois valeurs : la moyenne de l'échantillon (\(\bar{x}\)), l'écart-type de l'échantillon (\(s\)) et la taille de l'échantillon (\(n\)). Le calculateur renvoie les bornes inférieure et supérieure de l'intervalle, ainsi que l'erreur standard et la marge d'erreur, afin que vous compreniez précisément comment le résultat a été obtenu.
La formule expliquée
L'intervalle se calcule ainsi : $$CI = \bar{x} \pm 1{,}96 \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ Le terme \(s / \sqrt{n}\) correspond à l'erreur standard de la moyenne : elle diminue à mesure que l'échantillon s'agrandit, rendant l'estimation plus précise. La constante 1,96 est le score z qui délimite les 95 % centraux d'une loi normale centrée réduite. En multipliant l'erreur standard par 1,96, on obtient la marge d'erreur, que l'on ajoute et soustrait ensuite à la moyenne.
Exemple concret
Supposons qu'un échantillon présente une moyenne de 100, un écart-type de 15 et 36 observations. L'erreur standard vaut $$15 / \sqrt{36} = 15 / 6 = 2{,}5$$ La marge d'erreur est donc $$1{,}96 \times 2{,}5 = 4{,}9$$ L'intervalle de confiance à 95 % est ainsi de \(100 \pm 4{,}9\), soit 95,1 à 104,9.
Z-Scores pour les niveaux de confiance courants
Un intervalle de confiance pour une moyenne utilise une valeur critique (z-score) tirée de la distribution normale standard. Pour un intervalle bilatéral, le niveau de confiance choisi laisse une zone de queue combinée de \(\alpha = 1 - \text{NdC}\), divisée équitablement dans chaque queue (\(\alpha/2\)). L'intervalle à 95 % — celui que cette calculatrice calcule — utilise la valeur familière \(z = 1.960\), qui laisse 2,5 % dans chaque queue.
| Niveau de confiance | Z-score bilatéral | Zone de queue totale (\(\alpha\)) | Zone dans chaque queue (\(\alpha/2\)) |
|---|---|---|---|
| 80 % | 1.282 | 0.20 | 0.100 |
| 90 % | 1.645 | 0.10 | 0.050 |
| 95 % | 1.960 | 0.05 | 0.025 |
| 98 % | 2.326 | 0.02 | 0.010 |
| 99 % | 2.576 | 0.01 | 0.005 |
Ces z-scores supposent que l'écart type de la population est connu ou que l'échantillon est suffisamment grand pour que l'approximation normale soit valide. Pour les petits échantillons avec un écart type estimé, une valeur critique de distribution t (qui est plus grande) est plus appropriée.
FAQ
Pourquoi 1,96 et non 2 ? 1,96 est la valeur z exacte correspondant à une confiance de 95 % dans une loi normale. La valeur arrondie à 2 n'est qu'une approximation rapide.
Faut-il utiliser la loi z ou la loi t ? Le score z (1,96) convient aux grands échantillons ou lorsque l'écart-type de la population est connu. Pour les petits échantillons (\(n < 30\)) avec un écart-type de population inconnu, la loi de Student (t) fournit un intervalle légèrement plus large et plus exact.
Que signifie un intervalle plus large ? Un intervalle plus large traduit une incertitude plus grande, généralement due à un petit échantillon ou à une forte variabilité. Les échantillons plus grands donnent des intervalles plus étroits et plus précis.
