¿Qué es un intervalo de confianza al 95%?
Un intervalo de confianza al 95% es un rango de valores, calculado a partir de los datos de una muestra, que probablemente contiene la verdadera media de la población. Que la confianza sea del 95% significa que, si repitieras el muestreo muchas veces, alrededor del 95% de los intervalos que construyeras incluirían la media real. Es uno de los estadísticos más utilizados en la ciencia, las encuestas, la medicina y el análisis de negocio.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tres valores: la media muestral (\(\bar{x}\)), la desviación estándar de la muestra (\(s\)) y el tamaño de la muestra (\(n\)). La calculadora te devuelve los límites inferior y superior del intervalo, junto con el error estándar y el margen de error, para que veas con claridad cómo se ha obtenido el resultado.
La fórmula explicada
El intervalo se calcula así:
$$IC = \bar{x} \pm 1.96 \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$El término \(s / \sqrt{n}\) es el error estándar de la media: disminuye a medida que crece la muestra, lo que hace que la estimación sea más precisa. La constante 1,96 es la puntuación z que abarca el 95% central de una distribución normal estándar. Al multiplicar el error estándar por 1,96 se obtiene el margen de error, que se suma y se resta a la media.
Ejemplo resuelto
Imagina una muestra con una media de 100, una desviación estándar de 15 y 36 observaciones. El error estándar es
$$\frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$El margen de error es
$$1.96 \times 2.5 = 4.9$$Por tanto, el intervalo de confianza al 95% es \(100 \pm 4.9\), es decir, de 95,1 a 104,9.
Puntuaciones Z para Niveles de Confianza Comunes
Un intervalo de confianza para una media utiliza un valor crítico (puntuación z) extraído de la distribución normal estándar. Para un intervalo bilateral, el nivel de confianza elegido deja un área de cola combinada de \(\alpha = 1 - \text{NC}\), dividida equitativamente en cada cola (\(\alpha/2\)). El intervalo del 95% — el que calcula esta calculadora — utiliza el valor familiar \(z = 1.960\), que deja el 2,5% en cada cola.
| Nivel de confianza | Puntuación z bilateral | Área de cola total (\(\alpha\)) | Área en cada cola (\(\alpha/2\)) |
|---|---|---|---|
| 80% | 1.282 | 0.20 | 0.100 |
| 90% | 1.645 | 0.10 | 0.050 |
| 95% | 1.960 | 0.05 | 0.025 |
| 98% | 2.326 | 0.02 | 0.010 |
| 99% | 2.576 | 0.01 | 0.005 |
Estas puntuaciones z asumen que la desviación estándar de la población es conocida o que la muestra es lo suficientemente grande para que la aproximación normal sea válida. Para muestras pequeñas con una desviación estándar estimada, un valor crítico de la distribución t (que es mayor) es más apropiado.
Preguntas frecuentes
¿Por qué 1,96 y no 2? 1,96 es el valor z exacto para una confianza del 95% en una distribución normal. El valor redondeado a 2 es solo una aproximación rápida.
¿Debo usar la distribución z o la t? La puntuación z (1,96) es adecuada para muestras grandes o cuando se conoce la desviación estándar de la población. Para muestras pequeñas (\(n < 30\)) con desviación poblacional desconocida, la distribución t ofrece un intervalo algo más ancho y preciso.
¿Qué significa un intervalo más ancho? Un intervalo más ancho refleja mayor incertidumbre, normalmente por una muestra pequeña o una gran variabilidad. Las muestras más grandes generan intervalos más estrechos y precisos.
