¿Qué es un intervalo de confianza binomial?
Cuando observas un número de éxitos (x) sobre un total de ensayos (n), la proporción muestral \(\hat{p} = x/n\) estima la verdadera probabilidad de éxito subyacente. Un intervalo de confianza ofrece un rango que probablemente contenga esa proporción real. Esta calculadora emplea el intervalo de puntuación de Wilson, que resulta más preciso que el clásico intervalo de Wald (aproximación normal), sobre todo con muestras pequeñas o proporciones cercanas a 0 o a 1.
Cómo utilizarla
Introduce el número de éxitos, el total de ensayos y elige el nivel de confianza (90 %, 95 % o 99 %). La calculadora devuelve los límites inferior y superior del intervalo en forma de porcentaje, junto con la proporción muestral, el centro del intervalo, el margen (la semianchura) y la puntuación z utilizada.
La fórmula explicada
El intervalo de Wilson centra la estimación en una proporción ligeramente ajustada y reduce la anchura hacia 0,5 en las muestras pequeñas:
$$\text{IC} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$
Aquí z es el valor crítico de la normal estándar: 1,6449 para el 90 %, 1,9600 para el 95 % y 2,5758 para el 99 %.
Ejemplo resuelto
Supongamos 40 éxitos sobre 100 ensayos con un 95 % de confianza. Entonces \(\hat{p} = 0{,}40\), \(z = 1{,}95996\) y \(z^{2} = 3{,}8415\). El denominador es $$1 + \frac{3{,}8415}{100} = 1{,}038415$$ El centro es $$\frac{0{,}40 + 3{,}8415/200}{1{,}038415} = \frac{0{,}41763}{1{,}038415} = 0{,}40218$$ El margen es $$\frac{1{,}95996\cdot\sqrt{0{,}40\cdot 0{,}60/100 + 3{,}8415/40000}}{1{,}038415} = \frac{1{,}95996\cdot\sqrt{0{,}00249604}}{1{,}038415} = 0{,}09666$$ Así, el intervalo va aproximadamente del 30,55 % al 49,88 %.
Valores Z-Críticos por Nivel de Confianza
El intervalo de puntuación de Wilson utiliza un valor crítico bilateral \(z\) de la distribución normal estándar. Para un nivel de confianza \(C\), el valor es \(z = z_{1-\alpha/2}\) donde \(\alpha = 1 - C\), de modo que el área central es igual a \(C\) y cada cola contiene \(\alpha/2\). Los valores más comúnmente utilizados se enumeran a continuación.
| Nivel de confianza | Área de cola \(\alpha/2\) | \(z\) bilateral |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.2816 |
| 90% | 0.050 | 1.6449 |
| 95% | 0.025 | 1.9600 |
| 98% | 0.010 | 2.3263 |
| 99% | 0.005 | 2.5758 |
| 99.9% | 0.0005 | 3.2905 |
Estos son valores bilaterales: el mismo \(z\) se utiliza tanto para el límite inferior como para el superior de Wilson. Un nivel de confianza más alto corresponde a un \(z\) más grande, lo que amplía el intervalo. Esta calculadora ofrece las tres selecciones más comunes: 90% (1.6449), 95% (1.9600) y 99% (2.5758).
Interpretación de su Intervalo de Confianza
Un nivel de confianza del 95% describe el desempeño a largo plazo del procedimiento, no una probabilidad acerca de su intervalo único. Si repitiera el mismo muestreo y calculara un intervalo de Wilson cada vez, aproximadamente el 95% de esos intervalos contendrían la verdadera proporción poblacional \(p\). Para el único intervalo que realmente calculó, la verdadera \(p\) está dentro de él o no; el 95% es una propiedad del método en muchas muestras hipotéticas, no la probabilidad de que este intervalo específico capturara \(p\).
El ancho del intervalo refleja la precisión. Un intervalo estrecho indica que la estimación está determinada firmemente, típicamente como resultado de un gran número de ensayos. Un intervalo ancho indica mayor incertidumbre, común con muestras pequeñas o proporciones cercanas a 0.5, donde la variabilidad binomial es mayor. Comparando dos grupos, un intervalo que es mucho más ancho señala que su estimación debe tratarse como menos precisa.
Cuando un límite toca 0 o 1, significa que los datos son consistentes con proporciones que van hasta 0 (o hasta 1). Esto ocurre frecuentemente cuando el recuento observado es extremo, por ejemplo 0 éxitos da un límite inferior de exactamente 0, y todos los éxitos observados da un límite superior de exactamente 1. El límite opuesto aún contiene información: un resultado \(0/20\) descarta proporciones altas incluso aunque el límite inferior sea 0. El intervalo de Wilson se construye para permanecer dentro del rango válido \([0, 1]\), por lo que estos límites que tocan son comportamiento esperado en lugar de un error.
Esta es información estadística general y no asesoramiento profesional para ningún análisis específico.
Preguntas frecuentes
¿Por qué Wilson en lugar de Wald? El intervalo de Wald puede caer por debajo de 0 o superar el 1, y su cobertura es deficiente con n pequeño; el de Wilson se mantiene dentro de [0,1] y ofrece una cobertura mucho mejor.
¿Qué nivel de confianza debería elegir? El 95 % es el valor por defecto más habitual; usa el 99 % cuando necesites mayor certeza (intervalo más ancho) o el 90 % si prefieres uno más estrecho.
¿Funciona con proporciones del 0 o del 100 %? Sí: Wilson genera límites razonables y no degenerados incluso cuando x = 0 o x = n.
