이항 신뢰구간이란?
전체 시행 횟수(n) 중에서 성공 횟수(x)를 관측하면, 표본 비율 \(\hat{p} = x/n\) 이 실제 성공 확률을 추정하는 값이 됩니다. 신뢰구간은 이 참값이 들어 있을 가능성이 높은 범위를 알려 줍니다. 이 계산기는 Wilson 점수 신뢰구간(Wilson score interval)을 사용하는데, 이는 표본 크기가 작거나 비율이 0 또는 1에 가까울 때 특히 고전적인 Wald(정규근사) 방식보다 훨씬 정확합니다.
사용 방법
성공 횟수, 전체 시행 횟수를 입력하고 원하는 신뢰수준(90%, 95%, 99%)을 선택하세요. 계산기는 구간의 하한값과 상한값을 백분율로 보여 주며, 표본 비율, 구간 중심, 오차범위(반폭), 사용된 z값까지 함께 제공합니다.
공식 풀이
Wilson 점수 신뢰구간은 추정값을 약간 보정된 비율에 맞추고, 표본이 작을 때는 구간 폭을 0.5 쪽으로 끌어당기는 방식으로 계산합니다.
$$\text{CI} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$여기서 \(z\)는 표준정규분포의 임계값으로, 90%일 때 1.6449, 95%일 때 1.9600, 99%일 때 2.5758을 사용합니다.
계산 예시
100번 시행 중 40번 성공한 경우를 95% 신뢰수준으로 살펴보겠습니다. 이때 \(\hat{p} = 0.40\), \(z = 1.95996\), \(z^{2} = 3.8415\) 입니다. 분모는 \(1 + 3.8415/100 = 1.038415\) 가 됩니다. 중심값은 \((0.40 + 3.8415/200)/1.038415 = 0.41763/1.038415 = 0.40218\) 입니다. 오차범위는 $$1.95996\cdot\sqrt{0.40\cdot 0.60/100 + 3.8415/40000}/1.038415 = 1.95996\cdot\sqrt{0.00249604}/1.038415 = 0.09666$$ 입니다. 따라서 신뢰구간은 약 30.55% ~ 49.88% 가 됩니다.
신뢰 수준별 Z-임계값
Wilson 점수 구간은 표준 정규 분포에서 양측 임계값 \(z\)를 사용합니다. 신뢰 수준 \(C\)에 대해 값은 \(z = z_{1-\alpha/2}\)이며, 여기서 \(\alpha = 1 - C\)이므로 중앙 영역이 \(C\)와 같고 각 꼬리가 \(\alpha/2\)를 포함합니다. 가장 일반적으로 사용되는 값들은 아래에 나열되어 있습니다.
| 신뢰 수준 | 꼬리 영역 \(\alpha/2\) | 양측 \(z\) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.2816 |
| 90% | 0.050 | 1.6449 |
| 95% | 0.025 | 1.9600 |
| 98% | 0.010 | 2.3263 |
| 99% | 0.005 | 2.5758 |
| 99.9% | 0.0005 | 3.2905 |
이는 양측 값입니다: 동일한 \(z\)가 Wilson의 하한과 상한 모두에 사용됩니다. 높은 신뢰 수준은 더 큰 \(z\)에 해당하며, 이는 구간을 넓힙니다. 이 계산기는 가장 일반적인 세 가지 선택항 — 90% (1.6449), 95% (1.9600) 및 99% (2.5758)를 제공합니다.
신뢰 구간 해석
95% 신뢰 수준은 단일 구간에 대한 확률이 아니라 절차의 장기 성능을 설명합니다. 동일한 표본 추출을 반복하고 매번 Wilson 구간을 계산한다면, 이러한 구간의 약 95%가 참 모집단 비율 \(p\)를 포함할 것입니다. 실제로 계산한 하나의 구간에 대해 참 \(p\)는 그 안에 있거나 없습니다; 95%는 많은 가상의 표본에 걸친 방법의 특성이지, 이 특정 구간이 \(p\)를 포착할 확률이 아닙니다.
구간의 너비는 정밀도를 반영합니다. 좁은 구간은 추정값이 정확하게 결정되었음을 나타냅니다 — 일반적으로 많은 시행 결과입니다. 넓은 구간은 더 큰 불확실성을 나타내며, 이는 작은 표본이나 0.5에 가까운 비율에서 일반적이며, 이항 변동성이 가장 큽니다. 두 그룹을 비교할 때, 훨씬 더 넓은 구간은 그 추정값이 덜 정확한 것으로 취급되어야 함을 나타냅니다.
한 경계가 0 또는 1에 닿으면, 데이터가 0까지(또는 1까지) 모든 비율과 일치함을 의미합니다. 이는 관측된 개수가 극단적일 때 자주 발생합니다 — 예를 들어 0번의 성공은 정확히 0의 하한을 제공하고, 모든 관측된 성공은 정확히 1의 상한을 제공합니다. 반대 경계는 여전히 정보를 전달합니다: \(0/20\) 결과는 하한이 0이지만 높은 비율을 배제합니다. Wilson 구간은 유효한 \([0, 1]\) 범위 내에 머물도록 구성되므로, 이러한 접촉하는 경계는 오류가 아니라 예상되는 동작입니다.
이는 일반적인 통계 정보이며 어떤 특정 분석에 대한 전문 조언이 아닙니다.
자주 묻는 질문
왜 Wald가 아니라 Wilson을 쓰나요? Wald 구간은 0보다 작거나 1보다 큰 값으로 벗어날 수 있고, \(n\)이 작을 때 실제 신뢰수준을 충분히 보장하지 못합니다. 반면 Wilson은 항상 \([0,1]\) 범위 안에 머무르며 포함 확률(coverage)도 더 우수합니다.
어떤 신뢰수준을 선택해야 하나요? 가장 널리 쓰이는 기본값은 95%입니다. 더 높은 확신이 필요하면 99%(구간이 넓어짐)를, 더 좁은 구간을 원하면 90%를 사용하세요.
비율이 0%나 100%일 때도 쓸 수 있나요? 네. Wilson 방식은 \(x = 0\) 이거나 \(x = n\) 인 경우에도 0이나 1로 무너지지 않고 합리적인 경계값을 만들어 줍니다.
