이 계산기의 기능
이 도구는 서로 독립인 두 모집단의 비율 차이에 대한 신뢰구간(CI)을 추정합니다. 두 그룹 각각의 성공 횟수와 표본 크기를 입력하고 신뢰수준(90%, 95%, 99%)을 선택하면, 신뢰구간의 하한과 상한은 물론 표본비율, 표준오차, z값, 오차한계까지 함께 제공합니다. 특정 국가나 제도에 얽매이지 않는, 어디서나 통용되는 통계 기법입니다.
사용 방법
먼저 그룹 1의 성공 횟수 \(x_1\)과 표본 크기 \(n_1\)을 입력하고, 이어서 그룹 2의 \(x_2\)와 \(n_2\)를 입력하세요. 신뢰수준을 고르면 신뢰구간이 표시됩니다. 만약 구간이 0을 포함한다면 해당 신뢰수준에서 두 비율의 차이는 통계적으로 유의하지 않다는 뜻입니다. 반대로 구간 전체가 0보다 크거나 작으면 한쪽 비율이 다른 쪽보다 유의하게 크다고 해석할 수 있습니다.
공식 풀이
표본비율은 각각 \(\hat{p}_1 = x_1/n_1\), \(\hat{p}_2 = x_2/n_2\)로 구합니다. 표준오차는 두 추정치의 분산을 합쳐 다음과 같이 계산합니다.
$$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$$신뢰구간은 다음과 같으며,
$$\left(\hat{p}_1 - \hat{p}_2\right) \pm z \cdot SE$$여기서 \(z\)는 임계값(90%는 1.645, 95%는 1.960, 99%는 2.576)입니다. 이는 왈드(Wald) 방법, 즉 정규근사법으로, 각 그룹의 성공과 실패가 모두 약 10회 이상일 때 잘 들어맞습니다.
계산 예시
그룹 1이 100명 중 40명 성공(\(\hat{p}_1 = 0.40\)), 그룹 2가 100명 중 30명 성공(\(\hat{p}_2 = 0.30\))이라고 가정해 봅시다. 차이는 0.10입니다. 표준오차는 다음과 같이 됩니다.
$$SE = \sqrt{\frac{0.40 \cdot 0.60}{100} + \frac{0.30 \cdot 0.70}{100}} = \sqrt{0.0024 + 0.0021} = \sqrt{0.0045} \approx 0.06708$$95% 신뢰수준에서 오차한계는 \(1.95996 \times 0.06708 \approx 0.13148\)이고, 따라서 신뢰구간은 약 \(0.10 \pm 0.131\), 즉 대략 \((-0.0315,\ 0.2315)\)입니다. 이 구간이 0을 포함하므로 95% 수준에서 두 비율의 차이는 유의하지 않습니다.
자주 묻는 질문
정규근사는 언제 유효한가요? 흔히 쓰는 기준은 각 그룹에서 성공과 실패가 모두 10회 이상인 경우입니다. 표본이 매우 작을 때는 정확검정(exact method)을 고려하는 것이 좋습니다.
구간이 0을 포함하면 무슨 의미인가요? 선택한 신뢰수준에서 두 비율 사이에 통계적으로 유의한 차이가 없다는 뜻입니다.
비율 차이가 \([-1, 1]\) 범위를 벗어날 수도 있나요? 차이 자체는 항상 \(-1\)과 1 사이에 있지만, 극단적인 입력값에서는 왈드 구간의 경계가 이론적으로 그 범위를 약간 벗어날 수 있습니다.
