95% 신뢰구간 계산기

표본평균 (x̄)	100
표준오차 (s/√n)	2.738613
오차범위 (1.96 × SE)	5.3677
하한	94.6323
상한	105.3677

95% 신뢰구간이란?

95% 신뢰구간은 표본 데이터를 바탕으로 계산한 값의 범위로, 실제 모집단 평균이 이 범위 안에 있을 가능성이 높다는 것을 의미합니다. '95% 신뢰'란 동일한 표본 추출 과정을 여러 번 반복했을 때, 만들어진 구간 중 약 95%가 진짜 평균을 포함한다는 뜻입니다. 신뢰구간은 과학 연구, 설문조사, 의학, 비즈니스 분석 등에서 가장 널리 보고되는 통계량 중 하나입니다.

중앙 95퍼센트 영역이 음영 처리되고 양쪽에 꼬리가 있는 종 모양 곡선 — 95% 신뢰구간은 표본분포의 중앙 95% 영역에 해당하며, 양쪽 꼬리에 각각 2.5%가 남습니다.

계산기 사용 방법

세 가지 값을 입력하면 됩니다. 표본평균($\bar{x}$), 표본 표준편차($s$), 그리고 표본 크기($n$)입니다. 계산기는 신뢰구간의 하한과 상한은 물론, 표준오차와 오차범위까지 함께 제시하므로 결과가 어떻게 도출되었는지 한눈에 확인할 수 있습니다.

공식 풀이

신뢰구간은 다음과 같이 계산합니다.

$$CI = \bar{x} \pm 1.96 \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$

여기서 $s / \sqrt{n}$ 은 평균의 표준오차로, 표본이 커질수록 작아져 추정치가 더 정밀해집니다. 상수 1.96 은 표준정규분포에서 중앙 95%를 포함하는 z 점수입니다. 표준오차에 1.96을 곱하면 오차범위가 나오며, 이를 평균에 더하고 빼면 신뢰구간이 됩니다.

$$E = 1.96 \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$

중앙에 표본 평균이 있고 오차 범위 화살표가 하한과 상한까지 뻗은 수직선 — 이 구간은 표본 평균 $\bar{x}$을 중심으로 양쪽으로 오차 범위($1.96 \times s/\sqrt{n}$)만큼 확장됩니다.

예제로 확인하기

표본평균이 100, 표준편차가 15, 관측값이 36개인 경우를 가정해 봅시다. 표준오차는 $15 / \sqrt{36} = 15 / 6 = 2.5$ 입니다. 오차범위는 $1.96 \times 2.5 = 4.9$ 가 됩니다. 따라서 95% 신뢰구간은 $100 \pm 4.9$, 즉 95.1 ~ 104.9 입니다.

일반적인 신뢰 수준에 대한 Z-점수

평균에 대한 신뢰 구간은 표준 정규분포에서 도출된 임계값(z-점수)을 사용합니다. 양측 구간의 경우, 선택된 신뢰 수준은 결합된 꼬리 면적 $\alpha = 1 - \text{신뢰 수준}$을 남기며, 각 꼬리에 균등하게 분할됩니다($\alpha/2$). 이 계산기가 계산하는 95% 구간은 친숙한 값 $z = 1.960$을 사용하며, 각 꼬리에 2.5%를 남깁니다.