%95 Güven Aralığı Hesaplama Aracı

Örneklem Ortalaması (x̄)	100
Standart Hata (s/√n)	2,738613
Hata Payı (1,96 × SH)	5,3677
Alt Sınır	94,6323
Üst Sınır	105,3677

%95 Güven Aralığı Nedir?

%95 güven aralığı, örneklem verilerinden hesaplanan ve gerçek ana kütle ortalamasını büyük olasılıkla içinde barındıran bir değer aralığıdır. "%95 güven" ifadesi şu anlama gelir: Örnekleme sürecinizi defalarca tekrarlasanız, oluşturduğunuz aralıkların yaklaşık %95'i gerçek ortalamayı kapsar. Bilimsel çalışmalarda, anketlerde, tıpta ve iş analitiğinde en sık raporlanan istatistiklerden biridir.

Merkezî yüzde 95’lik bölgesi gölgeli ve iki kuyruğu olan çan eğrisi — %95 güven aralığı, örnekleme dağılımının merkezî %95’lik bölgesine karşılık gelir ve her kuyrukta %2,5 bırakır.

Bu Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?

Üç değer girin: örneklem ortalaması ($\bar{x}$), örneklem standart sapması ($s$) ve örneklem büyüklüğü ($n$). Araç, aralığın alt ve üst sınırlarını; ayrıca standart hata ile hata payını verir; böylece sonucun tam olarak nasıl elde edildiğini adım adım görebilirsiniz.

Formülün Açıklaması

Aralık şu şekilde hesaplanır:

$$CI = \bar{x} \pm 1{,}96 \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Buradaki $s / \sqrt{n}$ terimi, ortalamanın standart hatasıdır; örneklem büyüdükçe küçülür ve tahmini daha hassas hâle getirir. 1,96 sabiti ise standart normal dağılımın merkezdeki %95'lik kısmını kapsayan z-skorudur. Standart hatayı 1,96 ile çarptığınızda hata payını elde edersiniz; bu değer ortalamaya eklenip ortalamadan çıkarılır.

Reklam

Merkezde örneklem ortalaması ve alt ile üst sınırlara uzanan hata payı oklarını gösteren sayı doğrusu — Aralık, örneklem ortalaması $\bar{x}$’nın her iki yanına bir hata payı ($1{,}96 \times s/\sqrt{n}$) kadar uzanır.

Çözümlü Örnek

Diyelim ki bir örneklemin ortalaması 100, standart sapması 15 ve 36 gözlemi var. Standart hata $15 / \sqrt{36} = 15 / 6 = 2{,}5$ olur. Hata payı ise $1{,}96 \times 2{,}5 = 4{,}9$ olarak bulunur. Dolayısıyla %95 güven aralığı $100 \pm 4{,}9$, yani 95,1 ile 104,9 arasıdır.

Reklam

Yaygın Güven Seviyeleri için Z-Puanları

Bir ortalamanın güven aralığı, standart normal dağılımdan alınan kritik bir değer (z-puanı) kullanır. İki yönlü bir aralık için, seçilen güven seviyesi $\alpha = 1 - \text{GL}$ şeklinde birleştirilmiş bir kuyruk alanı bırakır ve bu alan her kuyrağa eşit olarak bölünür ($\alpha/2$). Bu hesaplayıcının hesapladığı %95 aralık, tanıdık değer $z = 1.960$ kullanır ve her kuyrukta %2,5 bırakır.

Güven seviyesi	İki yönlü z-puanı	Toplam kuyruk alanı ($\alpha$)	Her kuyrukta alan ($\alpha/2$)
%80	1.282	0.20	0.100
%90	1.645	0.10	0.050
%95	1.960	0.05	0.025
%98	2.326	0.02	0.010
%99	2.576	0.01	0.005

Bu z-puanları, populasyon standart sapmasının bilindiğini ya da örneğin normal yaklaşımın geçerli olacak kadar büyük olduğunu varsayar. Tahmini standart sapma ile küçük örnekler için, t-dağılımı kritik değeri (daha büyük olan) daha uygunudur.

Sıkça Sorulan Sorular

Neden 1,96, neden 2 değil? Normal dağılımda %95 güven düzeyine karşılık gelen kesin z-değeri 1,96'dır. Yuvarlatılmış 2 değeri ise yalnızca pratik bir yaklaşımdır.

z mi yoksa t dağılımı mı kullanmalıyım? z-skoru (1,96), büyük örneklemler için veya ana kütle standart sapması bilindiğinde uygundur. Ana kütle standart sapması bilinmeyen küçük örneklemlerde ($n < 30$) t-dağılımı biraz daha geniş ama daha doğru bir aralık verir.

Daha geniş bir aralık ne anlama gelir? Daha geniş bir aralık, daha fazla belirsizliği gösterir; bu genellikle küçük örneklemden veya yüksek değişkenlikten kaynaklanır. Büyük örneklemler ise daha dar ve daha hassas aralıklar üretir.