حاسبة فترة الثقة 95% للمتوسط

متوسط العينة (x̄)	١٠٠
الخطأ المعياري (s/√n)	٢٫٧٣٨٦١٣
هامش الخطأ (1.96 × الخطأ المعياري)	٥٫٣٦٧٧
الحد الأدنى	٩٤٫٦٣٢٣
الحد الأعلى	١٠٥٫٣٦٧٧

ما هي فترة الثقة 95%؟

فترة الثقة 95% هي مجال من القيم يُحسب من بيانات العينة، ويُرجَّح أن يحتوي على المتوسط الحقيقي للمجتمع الإحصائي. ويعني تعبير «ثقة 95%» أنك لو كرّرت عملية أخذ العينات مرات عديدة، فإن نحو 95% من الفترات التي تبنيها ستضم المتوسط الحقيقي. وتُعدّ هذه الفترة من أكثر المقاييس الإحصائية شيوعًا في البحث العلمي والاستطلاعات والطب وتحليلات الأعمال.

منحنى جرسي مع تظليل المنطقة المركزية البالغة 95 بالمئة وطرفين — يقابل فاصل الثقة 95% المنطقة المركزية البالغة 95% من توزيع العينة، تاركًا 2.5% في كل طرف.

كيف تستخدم هذه الحاسبة

أدخل ثلاث قيم: متوسط العينة ($\bar{x}$)، والانحراف المعياري للعينة ($s$)، وحجم العينة ($n$). تعرض لك الحاسبة الحدّين الأدنى والأعلى للفترة، إلى جانب الخطأ المعياري وهامش الخطأ، حتى ترى بوضوح كيف بُنيت النتيجة.

شرح المعادلة

تُحسب الفترة وفق العلاقة $$CI = \bar{x} \pm 1.96 \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ ويمثّل المقدار $s / \sqrt{n}$ الخطأ المعياري للمتوسط، وهو يصغر كلما كبرت العينة، ما يجعل التقدير أكثر دقة. أما الثابت 1.96 فهو الدرجة المعيارية (z) التي تغطي المنطقة الوسطى البالغة 95% من التوزيع الطبيعي المعياري. وبضرب الخطأ المعياري في 1.96 نحصل على هامش الخطأ، الذي يُضاف إلى المتوسط ويُطرح منه.

اعلان

خط أعداد يُظهر متوسط العينة في المنتصف مع أسهم هامش الخطأ الممتدة إلى الحدين الأدنى والأعلى — يمتد الفاصل بمقدار هامش خطأ واحد ($1.96 \times s/\sqrt{n}$) على كل جانب من متوسط العينة $\bar{x}$.

مثال محلول

لنفترض أن لدينا عينة متوسطها 100، وانحرافها المعياري 15، وعدد مشاهداتها 36. عندئذٍ يكون الخطأ المعياري $$15 / \sqrt{36} = 15 / 6 = 2.5$$ ويبلغ هامش الخطأ $$1.96 \times 2.5 = 4.9$$ وبذلك تكون فترة الثقة 95% هي $100 \pm 4.9$، أي من 95.1 إلى 104.9.

اعلان

درجات Z لمستويات الثقة الشائعة

فترة الثقة للمتوسط تستخدم قيمة حرجة (درجة z) مستمدة من التوزيع الطبيعي المعياري. بالنسبة لفترة ثنائية الطرف، فإن مستوى الثقة المختار يترك منطقة ذيل مجمعة من $\alpha = 1 - \text{مستوى الثقة}$، مقسمة بالتساوي إلى كل ذيل ($\alpha/2$). الفترة بنسبة 95% — الفترة التي يحسبها هذا الحاسبة — تستخدم القيمة المألوفة $z = 1.960$، التي تترك 2.5% في كل ذيل.

مستوى الثقة	درجة z ثنائية الطرف	إجمالي منطقة الذيل ($\alpha$)	المساحة في كل ذيل ($\alpha/2$)
80%	1.282	0.20	0.100
90%	1.645	0.10	0.050
95%	1.960	0.05	0.025
98%	2.326	0.02	0.010
99%	2.576	0.01	0.005

تفترض هذه درجات z أن الانحراف المعياري للمجتمع معروف أو أن حجم العينة كبير بما يكفي لتطبيق التقريب الطبيعي. بالنسبة للعينات الصغيرة مع انحراف معياري مقدر، فإن قيمة حرجة من توزيع t (التي تكون أكبر) أكثر ملاءمة.

الأسئلة الشائعة

لماذا 1.96 وليس 2؟ القيمة 1.96 هي الدرجة المعيارية (z) الدقيقة لمستوى ثقة 95% في التوزيع الطبيعي، بينما القيمة 2 ليست سوى تقريب سريع.

هل أستخدم توزيع z أم توزيع t؟ تناسب الدرجة المعيارية (1.96) العينات الكبيرة أو الحالات التي يكون فيها الانحراف المعياري للمجتمع معلومًا. أما في العينات الصغيرة (n < 30) مع انحراف معياري مجهول للمجتمع، فيمنح توزيع t فترةً أوسع قليلًا وأكثر دقة.

ماذا تعني الفترة الأوسع؟ تعكس الفترة الأوسع قدرًا أكبر من عدم اليقين، وغالبًا ما ينجم ذلك عن عينة صغيرة أو تباين كبير. أما العينات الأكبر فتُنتج فتراتٍ أضيق وأكثر دقة.