ما المقصود بفترة الثقة 90%؟
فترة الثقة 90% هي مجال من القيم يُحسب من بيانات العينة، ويُتوقّع أن يحتوي على المتوسط الحقيقي للمجتمع في 90% من الحالات عند تكرار أخذ العينات. وهي أوسع مما قد يوحي به تقدير المجتمع وحده، لأنها تأخذ في الاعتبار التباين الناتج عن أخذ العينات. وتشير النسبة «90%» إلى مستوى الثقة، الذي يقابل قيمة z الحرجة \(1.645\) عند استخدام التوزيع الطبيعي المعياري (z).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: متوسط العينة (\(\bar{x}\))، والانحراف المعياري للعينة (\(s\))، وحجم العينة (\(n\)). تحسب الأداة الخطأ المعياري وهامش الخطأ، ثم الحدّين الأدنى والأعلى للفترة. تفترض هذه النسخة المعتمدة على z أن حجم العينة كبير (عادةً \(n \geq 30\)) أو أن الانحراف المعياري للمجتمع معروف. أما في حالة العينات الصغيرة ذات التباين المجهول، فإن استخدام فترة t يكون أنسب.
شرح المعادلة
تُحسب الفترة وفق الصيغة $$CI = \bar{x} \pm 1.645 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ ويمثّل المقدار \(s/\sqrt{n}\) الخطأ المعياري للمتوسط، وهو يتناقص كلما زاد حجم العينة، مما يجعل الفترة أضيق. ويؤدي ضرب هذا المقدار في قيمة z البالغة \(1.645\) إلى الحصول على هامش الخطأ، الذي يُضاف إلى المتوسط ويُطرح منه لتكوين الحدّين.
مثال محلول
لنفترض أن \(\bar{x} = 100\)، وs = 15، وn = 30. عندئذ يكون الخطأ المعياري $$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2.7386$$ وهامش الخطأ $$1.645 \times 2.7386 \approx 4.5051$$ وبذلك تكون فترة الثقة 90% هي \(100 \pm 4.5051\)، أي ما يقارب 95.49 إلى 104.51.
قيم Z الحرجة لمستويات الثقة الشائعة
فترة الثقة للمتوسط (عندما تكون الانحراف المعياري للمجتمع معروفًا أو تكون العينة كبيرة) تأخذ الشكل \(\text{CI} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\)، حيث \(z^*\) هي قيمة z الحرجة ثنائية الطرف. تعتمد القيمة الحرجة فقط على مستوى الثقة المختار: مستوى ثقة أعلى يترك احتمالاً أقل في الذيول، وبالتالي يستخدم \(z^*\) أكبر.
بالنسبة لفترة 90%، يحتوي الذيلان معًا على \(1 - 0.90 = 0.10\) من المساحة، مقسمة إلى \(0.05\) لكل طرف، والتي تتوافق مع \(z^* = 1.645\). الجدول أدناه يسرد القيم القياسية.
| مستوى الثقة | مساحة الذيل لكل طرف (\(\alpha/2\)) | قيمة z الحرجة ثنائية الطرف (\(z^*\)) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.282 |
| 90% | 0.050 | 1.645 |
| 95% | 0.025 | 1.960 |
| 98% | 0.010 | 2.326 |
| 99% | 0.005 | 2.576 |
إذا كنت تحتاج إلى مستوى مختلف لنفس البيانات، يمكنك إعادة تشغيل الحساب باستخدام أداة فترة الثقة 95% أو فترة الثقة 99%، والتي تستخدم \(z^* = 1.960\) و\(2.576\) على التوالي.
تفسير فترة الثقة الخاصة بك
وفقًا للتعريف القياسي (التكراري)، فإن فترة الثقة 90% تصف إجراءً، وليس فترة واحدة. إذا كنت ستسحب عينات عشوائية مستقلة عديدة وتبني فترة 90% من كل واحدة، فإن حوالي 90% من تلك الفترات ستحتوي على متوسط المجتمع الحقيقي. نسبة 90% هي معدل التغطية على المدى الطويل للطريقة.
لذلك من غير الصحيح القول "هناك احتمال 90% بأن متوسط المجتمع الحقيقي يقع داخل هذه الفترة المحددة". بمجرد جمع بياناتك، تكون الحدود أرقامًا ثابتة والمتوسط الحقيقي إما أن يكون داخلها أم لا — ينطبق بيان الاحتمالية على الإجراء المتكرر، وليس على الفترة الواحدة التي أمامك.
لتقرير النتيجة، اذكر تقدير النقطة والفترة والمستوى — على سبيل المثال: "متوسط العينة كان 100، فترة ثقة 90% [97.00، 103.00]". يمكنك كتابته بشكل مكافئ كتقدير \(\pm\) هامش الخطأ، على سبيل المثال \(100 \pm 3.00\).
- فترة أضيق تشير إلى تقدير أكثر دقة. وهي تنتج عن حجم عينة أكبر، أو تباين أقل في البيانات، أو مستوى ثقة أقل.
- فترة أوسع تعكس عدم يقين أكبر — من عينة صغيرة، بيانات متغيرة جدًا، أو الطلب على مستوى ثقة أعلى مثل 95% أو 99%.
اختيار مستوى ثقة أعلى (باستخدام \(z^*\) أكبر) يوسع الفترة لنفس البيانات: تتاجر الدقة بضمان تغطية أكبر. قارن نفس العينة على مستوى 95% لترى هذه المقايضة. لاحظ أيضًا أن فترة z تفترض انحرافًا معياريًا معروفًا أو عينة كبيرة؛ بالنسبة للعينات الصغيرة مع انحراف معياري مقدَّر، تكون قيمة توزيع t الحرجة أكثر ملاءمة.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون قيمة z هي 1.645؟ لأنها القيمة التي تترك 5% في كل طرف من أطراف التوزيع الطبيعي المعياري (أي 10% إجمالاً)، وهو ما يقابل 90% في الوسط.
هل أستخدم z أم t؟ استخدم z (\(1.645\)) مع العينات الكبيرة أو عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع معروفاً. أما مع العينات الصغيرة والانحراف المعياري المقدَّر، فاستخدم توزيع t بدرجات حرية تساوي \(n-1\).
كيف أجعل الفترة أضيق؟ بزيادة حجم العينة أو تقليل التباين. فكلما زاد حجم العينة \(n\) تقلّص الخطأ المعياري وأصبحت الفترة أضيق.
