什麼是 90% 信賴區間？
90% 信賴區間是根據樣本資料推算出的一段數值範圍，意思是：若重複多次抽樣，這段範圍約有 90% 的機會會涵蓋母體的真實平均數。由於它把抽樣本身的變異性納入考量，因此會比單純的點估計更寬一些。這裡的「90%」指的是信賴水準，對應到標準常態分配（z 分配）時，臨界值正好是 1.645。
如何使用這個計算器
只要輸入三個數值：樣本平均數（x̄）、樣本標準差（s）以及樣本數（n）。計算器會自動算出標準誤、誤差範圍，並推得區間的下界與上界。這個以 z 值為基礎的版本，適用於大樣本（通常 n ≥ 30）或母體標準差已知的情況。若樣本數較小且變異數未知，改用 t 分配的區間會更為恰當。
公式解析
區間公式為 $$CI = \bar{x} \pm 1.645 \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$。其中 \(s/\sqrt{n}\) 是平均數的標準誤——樣本數越大，標準誤越小，區間也就越窄、越精確。將標準誤乘上 z 值 1.645，就得到誤差範圍，再以平均數為中心加減此誤差，即可求出上下界。
實例計算
假設 \(\bar{x} = 100\)、\(s = 15\)、\(n = 30\)。標準誤為 $$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2.7386$$；誤差範圍為 $$1.645 \times 2.7386 \approx 4.5051$$。因此 90% 信賴區間為 \(100 \pm 4.5051\)，約等於 95.49 至 104.51。
常見信心水準的Z臨界值
當母體標準差已知或樣本較大時，平均值的信心區間採用以下形式：\(\text{CI} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\)，其中\(z^*\)是雙尾z臨界值。臨界值僅取決於所選的信心水準：較高的信心水準在尾部留下的機率較少，因此使用較大的\(z^*\)。
對於90%的區間，尾部共佔\(1 - 0.90 = 0.10\)的面積，每側分配\(0.05\)，對應\(z^* = 1.645\)。下表列出標準值。
| 信心水準 | 每側尾部面積（\(\alpha/2\)） | 雙尾z臨界值（\(z^*\)） |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.282 |
| 90% | 0.050 | 1.645 |
| 95% | 0.025 | 1.960 |
| 98% | 0.010 | 2.326 |
| 99% | 0.005 | 2.576 |
如果您需要針對相同數據使用不同的水準，可以使用95%區間或99%區間工具重新運行計算，這些工具分別使用\(z^* = 1.960\)和\(2.576\)。
解釋您的信心區間
根據標準（頻率學派）的定義，90%信心區間描述的是一個程序，而不是單一區間。如果您抽取許多獨立的隨機樣本，並從每個樣本建構一個90%區間，這些區間中約90%會包含真實的母體平均值。90%是該方法的長期涵蓋率。
因此，說「真實平均值在這個特定區間內的機率為90%」是不正確的。一旦您的數據被蒐集，邊界就是固定的數字，真實平均值要麼在其中，要麼不在——機率陳述適用於重複的程序，而不適用於您眼前的這個區間。
要報告結果，請說明點估計、區間和信心水準——例如：「樣本平均值為100，90% CI [97.00, 103.00]」。您也可以將其等價地寫為估計值\(\pm\)誤差邊際，例如\(100 \pm 3.00\)。
- 較窄的區間表示更精確的估計。它源於較大的樣本量、較低的數據變異性或較低的信心水準。
- 較寬的區間反映了更多的不確定性——來自小樣本、高度變異的數據或要求更高的信心水準，如95%或99%。
選擇更高的信心水準（使用較大的\(z^*\)）會加寬相同數據的區間：您用精確度換取更大的涵蓋保證。將相同樣本與95%水準進行比較以查看此權衡。另請注意，z基礎區間假設標準差已知或樣本較大；對於使用估計標準差的小樣本，更適合使用t分佈臨界值。
常見問題
為什麼 z 值是 1.645？因為它讓標準常態分配的兩側尾端各保留 5%（合計 10%），中間正好涵蓋 90% 的機率。
該用 z 還是 t？大樣本或母體標準差已知時，使用 z（1.645）；若樣本數較小、標準差又是估計值，則改用自由度為 n−1 的 t 分配。
怎麼讓區間更窄？增加樣本數或降低變異性。樣本數越大，標準誤越小，區間自然更緊密。
