什麼是 99% 信賴區間？
99% 信賴區間是一段數值範圍，代表我們有 99% 的把握認為真正的母體平均數會落在這個範圍之內。它是根據樣本平均數、樣本標準差與樣本數計算而來。區間越寬，代表越有信心能涵蓋真實的平均值——而 99% 的信賴水準所得到的區間，會比常見的 95% 水準更寬。
如何使用本計算器
請輸入三個數值：樣本平均數（\(\bar{x}\)）、樣本標準差（\(s\)）以及樣本數（\(n\)）。計算器會自動算出標準誤、誤差界限，以及 99% 信賴區間的下限與上限。本工具採用常態（z）分配，當樣本數夠大時（通常 \(n \geq 30\)）即適用。
公式解析
公式為 $$CI = \bar{x} \pm 2.576 \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$ 其中 2.576 是 z 值，會在分配的兩端各留下 0.5%，正好涵蓋中央 99% 的範圍。\(\frac{s}{\sqrt{n}}\) 這一項則是標準誤，它會隨著樣本數增加而變小——也就是說，樣本越大，區間越窄、估計越精確。
實際範例
假設 \(\bar{x} = 100\)、\(s = 15\)、\(n = 30\)。標準誤為 $$SE = \frac{15}{\sqrt{30}} = \frac{15}{5.4772} \approx 2.7386$$ 誤差界限為 \(2.576 \times 2.7386 \approx 7.0547\)。因此 99% 信賴區間為 \(100 \pm 7.05\)，約為 92.95 至 107.05。
常見信心水準的Z-分數
平均值的信心區間使用一個臨界Z-分數，該分數取決於所選的信心水準。信心水準越高，Z-分數越大，區間越寬。以下值是標準常態分佈的雙尾臨界值，以及每條尾部的相應面積。
| 信心水準 | 雙尾Z-分數 | 每側尾部面積 |
|---|---|---|
| 80% | 1.282 | 0.100 |
| 90% | 1.645 | 0.050 |
| 95% | 1.960 | 0.025 |
| 98% | 2.326 | 0.010 |
| 99% | 2.576 | 0.005 |
| 99.9% | 3.291 | 0.0005 |
對於99%區間，總尾部面積為 \(1 - 0.99 = 0.01\)，分別在兩側各為 \(0.005\)。在上尾留下0.005的Z-分數約為2.576，這就是為什麼此計算機將標準誤差乘以2.576。
解釋您的信心區間
99%信心區間是對長期程序的陳述，而不是對單一結果的陳述。如果您重複抽取隨機樣本並從每個樣本構建99%區間，大約99%的這些區間將包含真實母體平均值。說真實平均值有99%的概率位於您的一個特定區間內是不正確的——對於給定的計算區間，真實平均值要麼在其中，要麼不在其中，99%描述的是該方法在許多樣本中的可靠性。
有效的解釋取決於幾個假設：
- 隨機抽樣：數據應該是來自感興趣母體的隨機、獨立樣本。有偏見或便利樣本可能會產生系統性地偏離真實平均值的區間。
- 近似常態性：平均值的抽樣分佈應該大致呈常態分佈。對於大樣本，即使原始數據是偏斜的，這也根據中央極限定理成立；對於小樣本，它更多地依賴於基礎數據大致呈常態分佈。
- 已知或大樣本標準差：使用Z-分數2.576假設標準差是已知的，或者樣本足夠大，使常態近似是充分的。對於具有估計標準差的小樣本，基於t的區間更準確。
最後，該區間估計的是母體平均值，而不是個別值的離散度。99%信心區間為96.14至103.86說的是平均值可能落在的位置——它不意味著99%的個別觀測值落在該範圍內。要描述個別值，您需要使用預測或容忍區間。
常見問題
為什麼要用 2.576？因為在標準常態分配下，它是雙尾 99% 信賴水準所對應的臨界 z 值。
什麼時候應該改用 t 分配？當樣本數較小（\(n < 30\)）且母體標準差未知時，使用 t 值會得到更準確的區間。
區間越寬代表越不準確嗎？不是——區間越寬反映的是更高的信賴程度。99% 區間之所以比 95% 區間寬，是因為它必須更有把握才能涵蓋真正的平均數。
