母體比例信賴區間計算器

輸入計算

成功次數（x）

樣本數（n）

信賴水準 90% 95% 99%

結果

母體比例的信賴區間

72.16% – 87.84%

Sample proportion p̂ = 80%

Sample proportion (p̂)	0.8
標準誤	0.04
z 值	1.96
誤差界限	±7.84%
下限	0.7216
上限	0.8784

這個計算器的用途

本工具會根據「成功次數」與「樣本總數」，計算母體比例的信賴區間。它採用常態（Wald）近似法——這是統計學入門課程中最常教到的方法——並依你選擇的信賴水準（90%、95% 或 99%）回報區間結果。

信賴區間就是點估計值 p-帽，向兩側各延伸一個誤差範圍。

使用方式

輸入成功次數（\(x\)），例如回答「是」的人數；再輸入樣本數（\(n\)）。選定信賴水準後，計算器就會回傳樣本比例、標準誤、誤差界限，以及區間的下限與上限。

公式說明

樣本比例為 \(\hat{p} = x/n\)。標準誤為 \(SE = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\)。將 \(SE\) 乘上臨界 \(z\) 值（90% 為 1.645、95% 為 1.96、99% 為 2.576）即得誤差界限，再從 \(\hat{p}\) 加減此值：

$$CI = \hat{p} \pm z\cdot SE$$

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z 臨界值標出常態曲線中央區域，對應所選的信賴水準。

範例試算

假設抽樣的 100 位顧客中有 80 位感到滿意。則 \(\hat{p} = 0.80\)，\(SE = \sqrt{0.80\times 0.20/100} = \sqrt{0.0016} = 0.04\)。在 95% 信賴水準下，誤差界限 \(= 1.96 \times 0.04 = 0.0784\)。區間為 \(0.80 \pm 0.0784 = (0.7216, 0.8784)\)，約等於 72.16% 到 87.84%。

常見問題

95% 信賴區間是什麼意思？如果重複抽樣很多次，以同樣方法建立的區間中，大約會有 95% 涵蓋到真正的母體比例。

Wald 方法在什麼情況下適用？當 \(n\hat{p}\) 與 \(n(1-\hat{p})\) 都至少約為 5–10 時，效果較佳。若樣本很小，或比例非常接近 0 或 1，建議改用 Wilson 區間或 Clopper–Pearson 區間。

為什麼我的區間被截到 0 或 1？比例不可能小於 0 或大於 1，因此超出此範圍的界限會被截斷。