母比率の信頼区間計算ツール

計算を入力してください

成功数（x）

標本サイズ（n）

信頼水準 90% 95% 99%

結果

母比率の信頼区間

72.16% – 87.84%

Sample proportion p̂ = 80%

Sample proportion (p̂)	0.8
標準誤差	0.04
z 値	1.96
誤差の限界	±7.84%
下限	0.7216
上限	0.8784

このツールでできること

このツールは、成功数と標本サイズ（サンプル数）から母比率の信頼区間を計算します。統計学の入門でもっともよく学ぶ正規分布（Wald）近似を用い、選んだ信頼水準（90%・95%・99%）に応じた区間を表示します。

信頼区間とは、点推定値pハットを両側に誤差の範囲だけ広げたものです。

使い方

成功数（x）を入力します。たとえばアンケートで「はい」と答えた人数などです。続いて標本サイズ（n）を入力し、信頼水準を選びましょう。ツールが標本比率・標準誤差・誤差の限界（マージン）、そして信頼区間の下限と上限を自動で算出します。

計算式の解説

標本比率は \(\hat{p} = x/n\) で求めます。標準誤差は \(SE = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\) です。これに臨界 z 値（90% なら 1.645、95% なら 1.96、99% なら 2.576）を掛けると誤差の限界が得られ、それを \(\hat{p}\) に加減します。

$$\text{信頼区間} = \hat{p} \pm z \cdot SE$$

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z臨界値は、選んだ信頼水準に対応する正規曲線の中央部分の面積を示します。

計算例

抽出した顧客 100 人のうち 80 人が「満足」と答えたとします。このとき \(\hat{p} = 0.80\)、\(SE = \sqrt{0.80 \times 0.20/100} = \sqrt{0.0016} = 0.04\) です。信頼水準 95% では、誤差の限界 \(= 1.96 \times 0.04 = 0.0784\)。区間は \(0.80 \pm 0.0784 = (0.7216,\ 0.8784)\)、つまりおよそ 72.16% から 87.84% となります。

よくある質問

「95% 信頼区間」とはどういう意味ですか？ 同じ条件で標本抽出を何度も繰り返した場合、この方法で作った区間のうち約 95% が真の母比率を含む、という意味です。

Wald 法はどんなときに有効ですか？ \(n\hat{p}\) と \(n(1-\hat{p})\) がともにおおよそ 5～10 以上あるときによく機能します。標本が非常に小さい場合や、比率が 0 または 1 に近い場合は、Wilson 区間や Clopper–Pearson 区間の利用を検討してください。

区間が 0 や 1 で切り詰められるのはなぜですか？ 比率は 0 未満や 1 を超えることがないため、その範囲を外れる値は 0 または 1 に丸められます。