二項比率の信頼区間とは？
n回の試行のうちx回の成功が観測されたとき、標本比率 \(\hat{p} = x/n\) は、その背後にある「真の成功確率」を推定する値になります。信頼区間とは、その真の比率が含まれている可能性が高い範囲を示すものです。この計算ツールではウィルソンスコア区間（Wilson score interval）を採用しています。これは古典的なワルド法（正規近似）よりも精度が高く、特に標本数が少ない場合や、比率が0や1に近い場合に威力を発揮します。
使い方
成功数、試行回数の合計を入力し、信頼水準（90%・95%・99%）を選択してください。計算ツールは区間の下限値と上限値をパーセンテージで表示するとともに、標本比率、区間の中心、マージン（区間幅の半分）、使用したz値もあわせて出力します。
計算式の解説
ウィルソンスコア区間は、推定値をわずかに調整した比率を中心に据え、標本数が少ない場合には区間幅を0.5の方向へ縮小させる仕組みになっています。
$$\text{CI} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$
ここで \(z\) は標準正規分布の臨界値で、90%なら1.6449、95%なら1.9600、99%なら2.5758となります。
計算例
100回の試行で40回成功し、信頼水準95%の場合を考えてみましょう。このとき \(\hat{p} = 0.40\)、\(z = 1.95996\)、\(z^{2} = 3.8415\) です。分母は \(1 + 3.8415/100 = 1.038415\) となります。中心は $$(0.40 + 3.8415/200)/1.038415 = 0.41763/1.038415 = 0.40218.$$ マージンは $$1.95996\cdot\sqrt{0.40\cdot0.60/100 + 3.8415/40000}/1.038415 = 1.95996\cdot\sqrt{0.00249604}/1.038415 = 0.09666$$ です。したがって信頼区間はおよそ 30.55% ～ 49.88% となります。
信頼度別のZ臨界値
ウィルソンスコア区間は、標準正規分布からの両側臨界値 \(z\) を使用します。信頼度 \(C\) に対して、値は \(z = z_{1-\alpha/2}\) です。ここで \(\alpha = 1 - C\) であり、中央領域が \(C\) に等しく、各裾が \(\alpha/2\) を保持するようにします。最も一般的に使用される値を以下に示します。
| 信頼度 | 裾の面積 \(\alpha/2\) | 両側 \(z\) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.2816 |
| 90% | 0.050 | 1.6449 |
| 95% | 0.025 | 1.9600 |
| 98% | 0.010 | 2.3263 |
| 99% | 0.005 | 2.5758 |
| 99.9% | 0.0005 | 3.2905 |
これらは両側値です：同じ \(z\) がウィルソン下限と上限の両方に使用されます。信頼度が高いほど、\(z\) が大きくなり、区間が広がります。この計算機は、3つの最も一般的な選択肢（90%（1.6449）、95%（1.9600）、99%（2.5758））を提供します。
信頼区間の解釈
95%信頼度は、単一の区間に関する確率ではなく、手法の長期的な性能を説明します。同じサンプリングを繰り返してウィルソン区間を毎回計算すると、これらの区間の約95%が真の母集団割合 \(p\) を含むでしょう。実際に計算した1つの区間については、真の \(p\) がそこに含まれているか否かかのいずれかです；95%は、この特定の区間が \(p\) をキャッチした確率ではなく、多くの仮想的なサンプルにわたる手法の特性です。
区間の幅は精度を反映しています。狭い区間は、推定値が厳密に決定されていることを示します—通常、多数の試行の結果です。広い区間はより大きな不確実性を示し、小さなサンプルまたは0.5に近い割合で一般的であり、二項分布の変動性が最も大きいです。2つのグループを比較する場合、ずっと広い区間は、その推定値がより精度が低いものとして扱われるべきであることを示しています。
限界が0または1に達する場合、それはデータが0まで（または1まで）すべての割合と一致していることを意味します。これは、観測度数が極端な場合—たとえば、0の成功は下限がちょうど0となり、すべての観測された成功は上限がちょうど1となります。反対側の限界はまだ情報を持っています：\(0/20\) の結果は下限が0であるにもかかわらず、高い割合を除外します。ウィルソン区間は有効な \([0, 1]\) 範囲内に留まるように構築されているため、このような触れている限界は誤りではなく、予期された動作です。
これは一般的な統計情報であり、特定の分析に関するプロフェッショナルアドバイスではありません。
よくある質問
なぜワルド法ではなくウィルソン法なのですか？ ワルド法では区間が0を下回ったり1を超えたりすることがあり、nが小さいときには本来の信頼水準を下回ってしまいます。一方ウィルソン法は[0,1]の範囲内に収まり、被覆率（カバレッジ）も優れています。
どの信頼水準を選べばよいですか？ 最も一般的なのは95%です。より高い確実性が必要な場合（区間は広くなります）は99%を、逆に区間を狭くしたい場合は90%を選ぶとよいでしょう。
比率が0%や100%でも使えますか？ はい。ウィルソン法は \(x = 0\) や \(x = n\) の場合でも、極端に偏った結果にならず、妥当な区間を導き出せます。
