Binom Güven Aralığı Nedir?
Belirli sayıda deneme (n) içinde belirli sayıda başarı (x) gözlemlediğinizde, örneklem oranı \(\hat{p} = x/n\), gerçek başarı olasılığının bir tahminini verir. Güven aralığı ise bu gerçek oranı yüksek olasılıkla içine alan bir aralık sunar. Bu hesaplama aracı, klasik Wald (normal yaklaşım) aralığına kıyasla — özellikle küçük örneklemlerde ya da oran 0'a veya 1'e yakın olduğunda — çok daha isabetli sonuç veren Wilson skoru aralığını kullanır.
Nasıl Kullanılır?
Başarı sayısını, toplam deneme sayısını girin ve güven düzeyinizi (%90, %95 veya %99) seçin. Araç; aralığın alt ve üst sınırlarını yüzde olarak, ayrıca örneklem oranını, aralığın merkezini, hata payını (yarı genişlik) ve kullanılan z değerini gösterir.
Formülün Açıklaması
Wilson skoru aralığı, tahmini hafifçe düzeltilmiş bir oran üzerine merkezler ve küçük örneklemlerde genişliği 0,5'e doğru daraltır:
$$\text{GA} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$Burada \(z\), standart normal kritik değerdir: %90 için 1,6449; %95 için 1,9600 ve %99 için 2,5758.
Çözümlü Örnek
Diyelim ki 100 denemede 40 başarı elde ettiniz ve %95 güven düzeyini kullanıyorsunuz. Bu durumda \(\hat{p} = 0{,}40\), \(z = 1{,}95996\), \(z^{2} = 3{,}8415\) olur. Payda \(1 + 3{,}8415/100 = 1{,}038415\)'tir. Merkez $$\frac{0{,}40 + 3{,}8415/200}{1{,}038415} = \frac{0{,}41763}{1{,}038415} = 0{,}40218$$ olarak bulunur. Hata payı ise $$1{,}95996\cdot\frac{\sqrt{0{,}40\cdot 0{,}60/100 + 3{,}8415/40000}}{1{,}038415} = 1{,}95996\cdot\frac{\sqrt{0{,}00249604}}{1{,}038415} = 0{,}09666$$'dır. Yani aralık yaklaşık %30,55 ile %49,88 arasındadır.
Sık Sorulan Sorular
Neden Wald yerine Wilson? Wald aralığı 0'ın altına veya 1'in üstüne taşabilir ve küçük n değerlerinde gerçek oranı yeterince kapsayamaz; Wilson ise her zaman [0,1] aralığında kalır ve kapsama oranı daha iyidir.
Hangi güven düzeyini seçmeliyim? En yaygın varsayılan %95'tir; daha yüksek kesinlik (daha geniş aralık) gerektiğinde %99'u, daha dar bir aralık için ise %90'ı kullanabilirsiniz.
Oran %0 ya da %100 olduğunda da çalışır mı? Evet — Wilson, x = 0 ya da x = n olduğunda bile mantıklı ve anlamlı sınırlar üretir.
Güven Düzeyine Göre Z-Kritik Değerleri
Wilson skor aralığı, standart normal dağılımdan iki yönlü bir kritik değer \(z\) kullanır. Güven düzeyi \(C\) için değer \(z = z_{1-\alpha/2}\) olup, burada \(\alpha = 1 - C\) şeklindedir; böylece merkezi alan \(C\) eşit olur ve her kuyruk \(\alpha/2\) içerir. En yaygın kullanılan değerler aşağıda listelenmiştir.
| Güven düzeyi | Kuyruk alanı \(\alpha/2\) | İki yönlü \(z\) |
|---|---|---|
| %80 | 0.100 | 1.2816 |
| %90 | 0.050 | 1.6449 |
| %95 | 0.025 | 1.9600 |
| %98 | 0.010 | 2.3263 |
| %99 | 0.005 | 2.5758 |
| %99.9 | 0.0005 | 3.2905 |
Bunlar iki yönlü değerlerdir: aynı \(z\), Wilson'ın hem alt hem de üst sınırları için kullanılır. Daha yüksek bir güven düzeyi daha büyük bir \(z\) değerine karşılık gelir ve bu da aralığı genişletir. Bu hesaplayıcı, en yaygın üç seçeneği sunmaktadır — %90 (1.6449), %95 (1.9600) ve %99 (2.5758).
Güven Aralığınızı Yorumlama
%95 güven düzeyi, tek bir aralığınız hakkında bir olasılık değil, prosedürün uzun vadeli performansını tanımlar. Aynı örnekleme işlemini tekrarlayıp her seferinde bir Wilson aralığı hesaplasaydınız, bu aralıkların yaklaşık %95'i gerçek popülasyon oranı \(p\) içerecekti. Aslında hesapladığınız tek aralık için, gerçek \(p\) ya içinde ya da değildir; %95, bu spesifik aralığın \(p\) yakaladığı şansı değil, birçok hipotetik örnek üzerinde yöntemin bir özelliğidir.
Aralığın genişliği, kesinliği yansıtır. Dar bir aralık, tahminin sıkı bir şekilde belirlendiğini gösterir — tipik olarak çok sayıda denemenin sonucudur. Geniş bir aralık daha büyük belirsizliği gösterir; bu, küçük örnekler veya binom değişkenliğinin en büyük olduğu 0.5'e yakın oranlarla yaygındır. İki grubu karşılaştırırken, çok daha geniş olan bir aralık, tahmininin daha az kesin olarak ele alınması gerektiğini gösterir.
Bir sınır 0 veya 1'e değdiğinde, bu verinin 0'a kadar (veya 1'e kadar) olan oranlarla tutarlı olduğu anlamına gelir. Bu, gözlenen sayı uç durumda olduğunda, örneğin 0 başarı durumunda alt sınır tam olarak 0'dır ve tüm gözlenen başarılar üst sınırı tam olarak 1'e ayarlayan durumlar sırasında oluşur. Karşı sınır yine de bilgi taşır: bir \(0/20\) sonuç, alt sınır 0 olsa da yüksek oranları dışlar. Wilson aralığı geçerli \([0, 1]\) aralığı içinde kalacak şekilde yapılandırılmış olup, bu tür sınırların dokunması beklenen davranış olup bir hata değildir.
Bu genel istatistiksel bilgi olup herhangi bir spesifik analiz için profesyonel tavsiye değildir.
