什么是二项分布置信区间？
当你在 \(n\) 次试验中观察到 \(x\) 次成功时，样本比例 \(\hat{p} = x/n\) 就是对真实成功概率的估计值。置信区间则给出一个范围，用来描述这个真实比例大概率落在哪里。本计算器采用 Wilson 评分区间（Wilson score interval），相比经典的 Wald（正态近似）区间更为精确，尤其是在样本量较小、或比例接近 0 或 1 的情况下表现更稳健。
使用方法
输入成功次数、试验总次数，并选择所需的置信水平（90%、95% 或 99%）。计算器会以百分比形式返回区间的下限和上限，同时给出样本比例、区间中心、边际误差（半宽）以及所用的 \(z\) 值。
公式详解
Wilson 评分区间会把估计值的中心稍作调整，并在样本量较小时让区间宽度向 0.5 收缩：
$$\text{CI} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$
其中 \(z\) 为标准正态分布的临界值：90% 对应 \(1.6449\)，95% 对应 \(1.9600\)，99% 对应 \(2.5758\)。
实例演算
假设在 100 次试验中有 40 次成功，置信水平为 95%。则 \(\hat{p} = 0.40\)，\(z = 1.95996\)，\(z^{2} = 3.8415\)。分母为 \(1 + 3.8415/100 = 1.038415\)。区间中心为 $$\frac{0.40 + 3.8415/200}{1.038415} = \frac{0.41763}{1.038415} = 0.40218$$ 边际误差为 $$\frac{1.95996\cdot\sqrt{0.40\cdot 0.60/100 + 3.8415/40000}}{1.038415} = \frac{1.95996\cdot\sqrt{0.00249604}}{1.038415} = 0.09666$$ 因此该区间约为 30.55% 至 49.88%。
按置信水平的Z临界值
威尔逊比例区间使用来自标准正态分布的双侧临界值 \(z\)。对于置信水平 \(C\)，该值为 \(z = z_{1-\alpha/2}\)，其中 \(\alpha = 1 - C\)，因此中心区域等于 \(C\)，每条尾部占 \(\alpha/2\)。最常用的值列示如下。
| 置信水平 | 尾部面积 \(\alpha/2\) | 双侧 \(z\) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.2816 |
| 90% | 0.050 | 1.6449 |
| 95% | 0.025 | 1.9600 |
| 98% | 0.010 | 2.3263 |
| 99% | 0.005 | 2.5758 |
| 99.9% | 0.0005 | 3.2905 |
这些是双侧值：相同的 \(z\) 用于威尔逊下界和上界。更高的置信水平对应更大的 \(z\)，这会扩大区间。本计算器提供三个最常见的选择——90%（1.6449）、95%（1.9600）和 99%（2.5758）。
解释您的置信区间
95% 的置信水平描述的是该程序的长期性能，而不是关于您单一区间的概率。如果您重复相同的抽样并每次计算一个威尔逊区间，这些区间中约 95% 会包含真实总体比例 \(p\)。对于您实际计算的单一区间，真实 \(p\) 要么在其中，要么不在；95% 是该方法在许多假设样本中的一个特性，而不是该特定区间捕获 \(p\) 的概率。
区间的宽度反映精确度。较窄的区间表示估计值确定得很紧凑——通常是大量试验的结果。较宽的区间表示更大的不确定性，常见于小样本或接近 0.5 的比例，其中二项式变异性最大。比较两个组时，宽得多的区间表明其估计值应被视为精确度较低。
当一个边界接触 0 或 1 时，这意味着数据与一直到 0（或高达 1）的比例是一致的。这种情况通常发生在观测计数处于极端时——例如 0 次成功给出下界恰好为 0，而所有观测成功给出上界恰好为 1。相反的边界仍然提供信息：\(0/20\) 的结果排除了高比例，尽管下界为 0。威尔逊区间的构造使其保持在有效的 \([0, 1]\) 范围内，因此这样的接触边界是预期的行为，而不是错误。
这是一般性统计信息，不是针对任何特定分析的专业建议。
常见问题
为什么用 Wilson 而不是 Wald？Wald 区间可能延伸到 0 以下或 1 以上，而且在 \(n\) 较小时覆盖率不足；Wilson 区间始终落在 \([0,1]\) 范围内，覆盖率也更理想。
应该选择哪个置信水平？95% 是最常用的默认选项；当你需要更高的把握度（区间更宽）时可选 99%，需要更窄区间时可选 90%。
当比例为 0 或 100% 时还能用吗？可以。即便 \(x = 0\) 或 \(x = n\)，Wilson 法依然能给出合理且非退化的区间上下限。
