什么是95%置信区间？
95%置信区间是根据样本数据计算出来的一个数值范围，它很可能包含总体的真实均值。所谓"95%置信"，是指如果你把同样的抽样过程重复很多次，那么大约有95%的区间会成功"框住"真实均值。在科研、问卷调查、医学和商业分析中，它都是被引用得最多的统计指标之一。
如何使用本计算器
你只需输入三个数值：样本均值（\(\bar{x}\)）、样本标准差（\(s\)）和样本量（\(n\)）。计算器会返回区间的下限和上限，并同时给出标准误差和误差范围，让你清楚地看到结果是怎样一步步算出来的。
公式详解
区间的计算公式为 $$CI = \bar{x} \pm 1.96 \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ 其中 \(s / \sqrt{n}\) 是均值的标准误差——样本越大，它就越小，估计也就越精确。常数 1.96 是标准正态分布中央95%所对应的 z 值。把标准误差乘以 1.96，就得到误差范围，再用均值加上和减去这个值，便得到区间的上下限。
实例演算
假设某个样本的均值为 100，标准差为 15，观测数为 36。那么标准误差为 $$15 / \sqrt{36} = 15 / 6 = 2.5$$ 误差范围为 $$1.96 \times 2.5 = 4.9$$ 因此 95% 置信区间就是 \(100 \pm 4.9\)，也就是 95.1 至 104.9。
常见置信水平的Z分数
均值的置信区间使用从标准正态分布中得出的临界值（z分数）。对于双尾区间，选定的置信水平在总尾部面积中留下\(\alpha = 1 - \text{置信水平}\)，均匀分配到每条尾部（\(\alpha/2\)）。95%的区间——本计算器计算的区间——使用熟悉的值\(z = 1.960\)，在每条尾部留下2.5%。
| 置信水平 | 双尾z分数 | 总尾部面积（\(\alpha\)） | 每条尾部中的面积（\(\alpha/2\)） |
|---|---|---|---|
| 80% | 1.282 | 0.20 | 0.100 |
| 90% | 1.645 | 0.10 | 0.050 |
| 95% | 1.960 | 0.05 | 0.025 |
| 98% | 2.326 | 0.02 | 0.010 |
| 99% | 2.576 | 0.01 | 0.005 |
这些z分数假设总体标准差已知，或样本足够大以至于正态近似成立。对于有估计标准差的小样本，t分布临界值（较大）更合适。
常见问题
为什么用 1.96 而不是 2？在正态分布中，1.96 才是对应95%置信度的精确 z 值。取整后的 2 只是一个便于心算的近似值。
该用 z 分布还是 t 分布？当样本量较大，或总体标准差已知时，使用 z 值（1.96）比较合适。如果样本量很小（\(n < 30\)）且总体标准差未知，则应改用 t 分布，它会给出略宽一些、但更准确的区间。
区间越宽意味着什么？区间越宽，说明不确定性越大——通常是由于样本量偏小或数据波动较大。样本量越大，区间越窄，估计也越精确。
