什么是 90% 置信区间？
90% 置信区间是根据样本数据计算出的一个数值范围。在多次重复抽样的情况下，大约有 90% 的此类区间会包含真实的总体均值。由于它考虑了抽样带来的随机波动，所以这个范围会比单纯依据总体估算得出的结果更宽一些。这里的"90%"指的是置信水平，在使用标准正态分布（z 分布）时，它对应的 z 临界值为 \(1.645\)。
如何使用本计算器
只需输入三个数值：样本均值（x̄）、样本标准差（s）以及样本量（n）。计算器会自动算出标准误差、误差范围，以及置信区间的下限和上限。这个基于 z 值的版本适用于大样本（通常 n ≥ 30）或已知总体标准差的情形。如果样本较小且总体方差未知，使用 t 分布区间会更合适。
公式详解
计算公式为 $$CI = \bar{x} \pm 1.645 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ 其中 \(s/\sqrt{n}\) 是均值的标准误差——样本量越大，标准误差越小，区间也就越窄、越精确。将标准误差乘以 z 值 \(1.645\)，便得到误差范围；再用均值分别加上和减去这个误差范围，就构成了区间的上限和下限。
实例演算
假设 \(\bar{x} = 100\)，\(s = 15\)，\(n = 30\)。标准误差为 $$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2.7386$$ 误差范围为 $$1.645 \times 2.7386 \approx 4.5051$$ 因此，90% 置信区间为 \(100 \pm 4.5051\)，即大约 95.49 至 104.51。
常见置信水平的Z临界值
当总体标准差已知或样本较大时，均值的置信区间形式为 \(\text{CI} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\)，其中 \(z^*\) 是双尾z临界值。临界值仅取决于所选的置信水平：较高的置信水平在尾部留下较小的概率，因此使用较大的 \(z^*\)。
对于90%的区间，尾部总共占据 \(1 - 0.90 = 0.10\) 的面积，每侧分别占 \(0.05\)，对应 \(z^* = 1.645\)。下表列出了标准值。
| 置信水平 | 每侧尾部面积（\(\alpha/2\)） | 双尾z临界值（\(z^*\)） |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.282 |
| 90% | 0.050 | 1.645 |
| 95% | 0.025 | 1.960 |
| 98% | 0.010 | 2.326 |
| 99% | 0.005 | 2.576 |
如果您对相同数据需要不同的水平，可以使用 95%区间 或 99%区间 工具重新运行计算，它们分别使用 \(z^* = 1.960\) 和 \(2.576\)。
解释您的置信区间
根据标准（频率论）定义，90%置信区间描述了一个程序，而非单一区间。如果您多次抽取独立随机样本，并从每个样本构建一个90%区间，这些区间中大约90%会包含真实的总体均值。90%是该方法的长期覆盖率。
因此，说"真实均值有90%的概率位于这个特定区间内"是不正确的。一旦数据被收集，区间边界就成为固定数字，真实均值要么在这些边界内，要么不在——概率陈述适用于重复程序，而不是您面前的这个区间。
报告结果时，请说明点估计、区间和水平——例如："样本均值为100，90% CI [97.00, 103.00]"。您也可以等价地写成估计 \(\pm\) 误差范围，例如 \(100 \pm 3.00\)。
- 较窄的区间表示更精确的估计。它来自较大的样本量、较低的数据变异性或较低的置信水平。
- 较宽的区间反映了更大的不确定性——来自小样本、数据高度可变或要求95%或99%这样更高的置信水平。
对相同数据选择更高的置信水平（使用较大的 \(z^*\)）会扩大区间：您用精度换取更大的覆盖把握。在 95%水平 比较相同样本以查看这种权衡。还要注意，z型区间假设标准差已知或样本较大；对于标准差估计且样本较小的情况，t分布临界值更加合适。
常见问题
为什么 z 值是 1.645？ 因为它能使标准正态分布的每一侧尾部各留出 5%（合计 10%），而中间正好覆盖 90% 的区域。
应该用 z 还是 t？ 对于大样本或已知总体标准差的情况，使用 z 值（\(1.645\)）；如果样本较小且标准差是估算出来的，则应使用自由度为 \(n-1\) 的 t 分布。
如何让区间更窄？ 可以增大样本量或降低数据的波动性。样本量 \(n\) 越大，标准误差越小，区间也就越紧凑。
