Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance à 90 % ?
Un intervalle de confiance à 90 % est une plage de valeurs, calculée à partir des données d'un échantillon, censée contenir la vraie moyenne de la population dans 90 % des cas si l'on répétait l'échantillonnage. Il est plus large qu'une simple estimation ponctuelle car il intègre la variabilité d'échantillonnage. Le « 90 % » désigne le niveau de confiance, qui correspond à une valeur critique z de 1,645 lorsqu'on utilise la loi normale centrée réduite (loi z).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez trois valeurs : la moyenne de l'échantillon (\(\bar{x}\)), l'écart-type de l'échantillon (\(s\)) et la taille de l'échantillon (\(n\)). Le calculateur détermine l'erreur type, la marge d'erreur, puis les bornes inférieure et supérieure de votre intervalle. Cette version fondée sur le score z suppose un grand échantillon (généralement \(n \geq 30\)) ou un écart-type de population connu. Pour de petits échantillons à variance inconnue, un intervalle fondé sur la loi de Student (t) est plus adapté.
La formule expliquée
L'intervalle s'écrit $$CI = \bar{x} \pm 1{,}645 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$. Le terme \(s/\sqrt{n}\) représente l'erreur type de la moyenne : il diminue à mesure que la taille de l'échantillon augmente, ce qui resserre l'intervalle. La multiplication par le score z de 1,645 donne la marge d'erreur, que l'on ajoute et retranche à la moyenne pour obtenir les bornes.
Exemple concret
Supposons \(\bar{x} = 100\), \(s = 15\) et \(n = 30\). L'erreur type vaut $$15 / \sqrt{30} \approx 2{,}7386.$$ La marge d'erreur est de $$1{,}645 \times 2{,}7386 \approx 4{,}5051.$$ L'intervalle de confiance à 90 % est donc de \(100 \pm 4{,}5051\), soit environ 95,49 à 104,51.
Valeurs z-critiques pour les niveaux de confiance courants
Un intervalle de confiance pour une moyenne (lorsque l'écart-type de la population est connu ou l'échantillon est grand) prend la forme \(\text{IC} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\), où \(z^*\) est la valeur z-critique bilatérale. La valeur critique dépend seulement du niveau de confiance choisi : un niveau de confiance plus élevé laisse moins de probabilité dans les queues et utilise donc un \(z^*\) plus grand.
Pour un intervalle à 90 %, les queues ensemble contiennent \(1 - 0.90 = 0.10\) de la surface, répartis comme \(0.05\) par côté, ce qui correspond à \(z^* = 1.645\). Le tableau ci-dessous énumère les valeurs standard.
| Niveau de confiance | Surface de la queue par côté (\(\alpha/2\)) | z-critique bilatéral (\(z^*\)) |
|---|---|---|
| 80 % | 0.100 | 1.282 |
| 90 % | 0.050 | 1.645 |
| 95 % | 0.025 | 1.960 |
| 98 % | 0.010 | 2.326 |
| 99 % | 0.005 | 2.576 |
Si vous avez besoin d'un niveau différent pour les mêmes données, vous pouvez relancer le calcul avec les outils intervalle à 95 % ou intervalle à 99 %, qui utilisent respectivement \(z^* = 1.960\) et \(2.576\).
Interpréter votre intervalle de confiance
Selon la définition standard (fréquentiste), un intervalle de confiance à 90 % décrit une procédure, pas un seul intervalle. Si vous deviez extraire de nombreux échantillons aléatoires indépendants et construire un intervalle à 90 % à partir de chacun, environ 90 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne de la population. Le 90 % est le taux de couverture à long terme de la méthode.
Il est donc incorrect de dire « il y a 90 % de probabilité que la vraie moyenne se situe dans cet intervalle particulier ». Une fois que vos données sont collectées, les bornes sont des nombres fixes et la vraie moyenne est soit à l'intérieur, soit à l'extérieur — la déclaration de probabilité s'applique à la procédure répétée, pas à l'intervalle unique devant vous.
Pour rapporter un résultat, énoncez l'estimation ponctuelle, l'intervalle et le niveau — par exemple : « la moyenne de l'échantillon était 100, IC à 90 % [97.00, 103.00] ». Vous pouvez également l'écrire comme estimation \(\pm\) marge d'erreur, par exemple \(100 \pm 3.00\).
- Un intervalle plus étroit signale une estimation plus précise. Il résulte d'une plus grande taille d'échantillon, d'une variabilité inférieure dans les données, ou d'un niveau de confiance plus faible.
- Un intervalle plus large reflète plus d'incertitude — d'un petit échantillon, de données très variables, ou d'exiger un niveau de confiance plus élevé comme 95 % ou 99 %.
Choisir un niveau de confiance plus élevé (en utilisant un \(z^*\) plus grand) élargit l'intervalle pour les mêmes données : vous échangez la précision contre une plus grande assurance de couverture. Comparez le même échantillon au niveau à 95 % pour voir cet échange. Notez également que l'intervalle basé sur z suppose un écart-type connu ou un grand échantillon ; pour les petits échantillons avec un écart-type estimé, une valeur critique de distribution t est plus appropriée.
FAQ
Pourquoi le score z vaut-il 1,645 ? C'est la valeur qui laisse 5 % dans chaque queue de la loi normale centrée réduite (10 % au total), ce qui correspond à 90 % au centre.
Faut-il utiliser z ou t ? Utilisez z (1,645) pour les grands échantillons ou lorsque l'écart-type de la population est connu. Pour de petits échantillons avec un écart-type estimé, utilisez la loi de Student (t) avec \(n-1\) degrés de liberté.
Comment resserrer l'intervalle ? Augmentez la taille de l'échantillon ou réduisez la variabilité. Un \(n\) plus grand diminue l'erreur type et resserre l'intervalle.
