¿Qué es un intervalo de confianza al 90%?
Un intervalo de confianza al 90% es un rango de valores, calculado a partir de los datos de una muestra, que se espera que contenga la verdadera media poblacional el 90% de las veces si repitiéramos el muestreo muchas veces. Es más amplio de lo que sugeriría una simple estimación puntual porque tiene en cuenta la variabilidad del muestreo. Ese «90%» hace referencia al nivel de confianza, que se corresponde con un valor crítico z de 1,645 cuando se trabaja con la distribución normal estándar (z).
Cómo usar esta calculadora
Introduce tres datos: la media muestral (\(\bar{x}\)), la desviación estándar de la muestra (\(s\)) y el tamaño muestral (\(n\)). La calculadora obtiene el error estándar, el margen de error y los límites inferior y superior del intervalo. Esta versión basada en z parte de la idea de una muestra grande (normalmente \(n \geq 30\)) o de que se conoce la desviación estándar poblacional. Para muestras pequeñas con varianza desconocida, lo más adecuado es usar un intervalo basado en la distribución t.
La fórmula, paso a paso
El intervalo es $$CI = \bar{x} \pm 1.645 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ El término \(s/\sqrt{n}\) es el error estándar de la media: cuanto mayor es el tamaño de la muestra, más pequeño se vuelve, de modo que el intervalo se estrecha. Al multiplicarlo por el valor z de 1,645 obtenemos el margen de error, que se suma y se resta a la media para formar los límites del intervalo.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(\bar{x} = 100\), \(s = 15\) y \(n = 30\). El error estándar es $$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2.7386$$ El margen de error es $$1.645 \times 2.7386 \approx 4.5051$$ Por tanto, el intervalo de confianza al 90% es \(100 \pm 4.5051\), es decir, aproximadamente de 95,49 a 104,51.
Valores Críticos Z para Niveles de Confianza Comunes
Un intervalo de confianza para una media (cuando la desviación estándar poblacional es conocida o la muestra es grande) toma la forma \(\text{IC} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\), donde \(z^*\) es el valor crítico z bilateral. El valor crítico depende solo del nivel de confianza elegido: un nivel de confianza más alto deja menos probabilidad en las colas y, por lo tanto, utiliza un \(z^*\) mayor.
Para un intervalo del 90%, las colas juntas contienen \(1 - 0.90 = 0.10\) del área, dividido como \(0.05\) por lado, lo que corresponde a \(z^* = 1.645\). La tabla a continuación enumera los valores estándar.
| Nivel de confianza | Área de cola por lado (\(\alpha/2\)) | Valor crítico z bilateral (\(z^*\)) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.282 |
| 90% | 0.050 | 1.645 |
| 95% | 0.025 | 1.960 |
| 98% | 0.010 | 2.326 |
| 99% | 0.005 | 2.576 |
Si necesita un nivel diferente para los mismos datos, puede volver a ejecutar el cálculo con las herramientas de intervalo del 95% o del 99%, que utilizan \(z^* = 1.960\) y \(2.576\) respectivamente.
Interpretación de Su Intervalo de Confianza
Según la definición estándar (frecuentista), un intervalo de confianza del 90% describe un procedimiento, no un único intervalo. Si extrajera muchas muestras aleatorias independientes y construyera un intervalo del 90% a partir de cada una, aproximadamente el 90% de esos intervalos contendría la verdadera media poblacional. El 90% es la tasa de cobertura a largo plazo del método.
Por lo tanto, no es correcto decir "hay una probabilidad del 90% de que la verdadera media esté dentro de este intervalo particular". Una vez que se recopilan los datos, los límites son números fijos y la verdadera media está o no está dentro de ellos — la afirmación de probabilidad se aplica al procedimiento repetido, no al único intervalo que tiene ante usted.
Para reportar un resultado, indique la estimación puntual, el intervalo y el nivel — por ejemplo: "la media de la muestra fue 100, IC 90% [97.00, 103.00]". Puede escribirlo equivalentemente como estimación \(\pm\) margen de error, p. ej. \(100 \pm 3.00\).
- Un intervalo más estrecho señala una estimación más precisa. Resulta de un tamaño de muestra mayor, menor variabilidad en los datos, o un nivel de confianza más bajo.
- Un intervalo más ancho refleja más incertidumbre — de una muestra pequeña, datos altamente variables, o exigir un nivel de confianza más alto como 95% o 99%.
Elegir un nivel de confianza más alto (utilizando un \(z^*\) mayor) amplía el intervalo para los mismos datos: intercambia precisión por mayor seguridad de cobertura. Compare la misma muestra en el nivel del 95% para ver este intercambio. Tenga en cuenta también que el intervalo basado en z asume una desviación estándar conocida o una muestra grande; para muestras pequeñas con una desviación estándar estimada, un valor crítico de distribución t es más apropiado.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el valor z es 1,645? Es el valor que deja un 5% en cada cola de la distribución normal estándar (un 10% en total), de modo que en el centro queda el 90%.
¿Debo usar z o t? Usa z (1,645) con muestras grandes o cuando conozcas la desviación estándar poblacional. Para muestras pequeñas con una desviación estándar estimada, recurre a la distribución t con \(n-1\) grados de libertad.
¿Cómo consigo un intervalo más estrecho? Aumentando el tamaño de la muestra o reduciendo la variabilidad. Un \(n\) mayor reduce el error estándar y ajusta más el intervalo.
